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数学之美|填色游戏

摘要:人们提起数学之“美”时通常意指其抽象涵义,比如描述一个其力量、深刻和简洁能激起敬畏之情的定理。罗素称之为“朴素冷峻之美……庄严纯净,能够达到严格的完美”。然而,人类也一向从数学中发现审美上的圣洁之美。例如伊斯兰和印度教文化有着丰富的基于几何设计的惊人图像。它反映着数学在冥想和沉思上的作用,因此我决定编写一本填色书。给书中约80幅图像填色并不需要数学知识,这里有其中四幅。但在给它们填色中,你会接触到数学理念,它们有些已经有几千年历史,有些则是最近的发现。数学有使人焦虑的名声。这些图像却设计来抚慰、启发——以及,如果你足够幸运的话,激起敬畏之情。
一、嵌套的鱼
看到单一形状能不留缝隙不重叠地镶嵌填满平面会令人大满足,特别是当这个形状是一条鱼。数学艺术家David Bailey设计的这个图像中鱼的放置方式使得如果你上下颠倒图案,它的左右就会倒转,然后再把它上移或下移一行,就会和原始图像完美重合。

图1

图2
二、三重数独
数独是一种益智游戏——现在像填字游戏一样流行,解谜者把1到9的数字填进方格,使得1至9在每行每列都只出现一次。如果你在一个已经解好的数独里填色,用一种颜色代表各个数字,比如红是1,蓝是2,依次类推,这样每种颜色在每行每列都只出现一次。其结果就是一个五颜六色的拼缀图,尽管不对称,却完美地平衡与和谐。我在这里叠加了三个填色数独游戏,所以小方块、小圈和大圈里的每种颜色都在每行每列只出现一次。用这个图案能缝一条好看的被子。
一个包含每行每列都只出现一次的对象的网格——无论是数字、颜色还是任何其它内容——称为拉丁方阵。人们从十八世纪以来就在研究它们了,而且在统计和计算等领域有许多应用,在现实世界中也有用,比如农民可以用它们作为试验肥料的网格,拉丁方阵保证不同肥料在一个地区分布均匀,因此你可以看到不同土壤条件的影响。

图3

图4
三、Ammann-Beenker镶嵌
数学中最令人视觉愉悦的探求之一就是寻找用有趣的方式来铺满平面的形状。这种探求中的许多英雄甚至不是专业数学家:在七十年代发现这个镶嵌的Robert Ammann就在邮局工作。(它也被学院数学家FPM Beenker独立发现。)该图像只包含两种元素——正方形和菱形,一旦着色,会产生惊人的三维效果。这种镶嵌也被称为“非周期性的”,即不论你怎么拼接下去,图案永远不会重复。非周期镶嵌的想法是反直觉的,因为如果仅用两个形状就能不留空不重叠地填满平面,那么规则重复的方式似乎是很自然的。非周期性的发现在材料科学方面也有影响:后来发现某些类型的晶体会自然产生Ammann-Beenker镶嵌。

图5

图6
四、黄金矩形
斐波那契数列——1,1,2,3,5,8等等——遵循每一项都是前两项之和的规律,因此,1+1=2,1+2=3,依次类推。这个图像中正方形的边长也是斐波那契数列。我们设最小的正方形边长为1,他们成对出现。在他们旁边放一个边长为2的正方形,形成一个矩形。一个边长为3的正方形放在这个矩形边上,然后再放边长为5,然后再边长为8,以至无穷。每个矩形的边长比例接近黄金分割1.618(取三位小数精度),所以他们通常被称为“黄金矩形”,而从边长为1的正方形出发向外的曲线被称为“黄金螺旋”。普遍的观点是——虽然未证实并且很有争议——黄金矩形是最美观悦目的矩形类型,在这里它们看上去当然很萌!

图7
五、添头:生命游戏
一开始在最顶部一行任选约一半格子填色。然后往下每一行按照如下规则填色:比如上方左中右三个是连续空格(最左),下面的格子就填色;如果是两个空格跟着一个填色格(左二),下面就必须留空。其它各条规则列出了所有的可能组合,每行左右尽头的格子用另一头的作为输入。对下面每一行重复这个过程。

图8

图9

 

作者:Alex Bellos

 

来源:《卫报》(the Guardian)


翻译:王丢兜

 

声明:文章转自【煎蛋】微信公众号(文章原标题:《成人填色游戏和数学之美》),版权归原作者所有,转载仅供学习使用,不用于任何商业用途,如有侵权请联系删除,谢谢。

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