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数学里为什么要定义各种空间

从刚开始上高等代数时就发现要跟很多空间打交道,而且越到后面会接触越多的空间。


比如我们最熟悉的空间——向量空间,中学时候就和它有说不清的爱恨情仇,那个时候向量空间指的就是所有有方向的线段构成的,而后的向量空间(现在也称线性空间)指的是满足那八条性质的集合,失去了以前的直观性,但是它向抽象空间进了一步,也就意味着有更大的研究潜力。

图1:向量空间的现代定义


这个时候向量空间里的向量就能看成是“集合中规定了运算的点”。如果给这些“点”定义距离,那么这个空间就变成了“距离空间”;如果给这些点定义内积,就变成了“内积空间”;如果给这些点定义范数,就变成了“赋范空间”……

图2:各种空间


由此会发现一个规律,我们遇到的那些空间的本质其实是“集合+结构”,“集合”也就是我们要研究的对象,“结构”就是给这个对象赋予一些性质(如加法运算)。有了第一步的抽象后,就可以为更深层次的研究提供基础。


将直观的对象进行抽象化,这是一种对事物本质的一种洞察能力,它往往是推动数学发展的内在动力,最富创造性的数学家黎曼(就是提出黎曼猜想的那位)在1845年提出的“流形”概念,实际上就把欧式空间的发展向前推动了几十年,在此基础上发展出了新的几何学研究,更是激发了多位菲尔兹奖得主的诞生:J.Milnor在这里发现了7维怪球以此获揽下1962年的菲尔兹奖,丘成桐因证明了其中的卡拉比猜想而获得了1982年的菲尔兹奖……


题图就是卡拉比—丘流形。


所以说数学里为什么要定义各种空间呢。


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