费马在他的笔记中提到了这样一件事：
命题：设N为非平方自然数，那么方程
有无穷自然数解。
例如，方程
有
等无穷个类似的自然数解。形如的方程就是Pell方程，这里的N显然只能是非平方数，否则没有自然数解。
事实上英国数学家John Pell和这个Pell方程没有多大关系，因为该问题的提出是费马，问题的解决是拉格朗日，命名的错误是欧拉，我们对于欧拉的错误只能将错就错了。其实这个方程本身的解决是简单的，网上有很多且都比较初等，读者不用担心解法的深奥，本文更想去讨论它与其它东西的某种联系，这比证明和计算有趣多了。
我们将Pell方程改写一下：
从现代代数学的角度来看，Pell方程和环
紧密联系：寻求方程的解其实就是寻求环
的非平凡单位。比如N=2时，我们知道
的可逆元全体，其可逆元全体为无限集
，这也说明
有无穷多自然数解；反过来当N=-1时，
的解只有4个，实际上背后在说明
的可逆元个数是有限的。事实上我们可以把Pell方程的可解性问题看作是Dirichlet单位定理的特例。这也是数论问题与代数学发展之间的联系，事实上现在正有一个数学分支就是“代数数论”。
下面我们来看一个例子，考虑N=14，我们有
可以看到
的连分数是有周期的，周期为4。如果我们只取第一个周期的分数：
恰有
，且(15, 4)是
的最小自然数解。
难道这是一种巧合吗？其实这又是一种联系。
在连分数理论中有一个结论是： 一个非完全平方数的平方根的连分数是有周期的，反过来也成立。所以当我们确定Pell方程的系数N时，方程的解实际上就是给出了的近似解，反过来我们也可以通过的分数近似寻求对应方程的解。
早在公元前400年，印度和希腊就有人开始研究简单的Pell方程的解，到18世纪Pell方程理论得到了完美解决。
我们并不知道两千多年前的人们为什么会去思考Pell方程的解，但神奇的是后来的人们依然对其产生无穷的兴趣，而且得到了令人惊叹的成果。也许，数学在人类社会开始去思考它的时候，它的发展轨迹就被勾勒出来了。
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