登陆后访问



H
I
S
T
O
R
Y

专栏 | Pell方程

费马在他的笔记中提到了这样一件事:
命题:设N为非平方自然数,那么方程有无穷自然数解。
例如,方程

等无穷个类似的自然数解。形如的方程就是Pell方程,这里的N显然只能是非平方数,否则没有自然数解。
事实上英国数学家John Pell和这个Pell方程没有多大关系,因为该问题的提出是费马,问题的解决是拉格朗日,命名的错误是欧拉,我们对于欧拉的错误只能将错就错了。其实这个方程本身的解决是简单的,网上有很多且都比较初等,读者不用担心解法的深奥,本文更想去讨论它与其它东西的某种联系,这比证明和计算有趣多了。
我们将Pell方程改写一下:

从现代代数学的角度来看,Pell方程和环紧密联系:寻求方程的解其实就是寻求环的非平凡单位。比如N=2时,我们知道的可逆元全体,其可逆元全体为无限集,这也说明有无穷多自然数解;反过来当N=-1时,的解只有4个,实际上背后在说明的可逆元个数是有限的。事实上我们可以把Pell方程的可解性问题看作是Dirichlet单位定理的特例。这也是数论问题与代数学发展之间的联系,事实上现在正有一个数学分支就是“代数数论”。
下面我们来看一个例子,考虑N=14,我们有

可以看到的连分数是有周期的,周期为4。如果我们只取第一个周期的分数:

恰有,且(15, 4)是的最小自然数解。
难道这是一种巧合吗?其实这又是一种联系。
在连分数理论中有一个结论是: 一个非完全平方数的平方根的连分数是有周期的,反过来也成立。所以当我们确定Pell方程的系数N时,方程的解实际上就是给出了的近似解,反过来我们也可以通过的分数近似寻求对应方程的解。
早在公元前400年,印度和希腊就有人开始研究简单的Pell方程的解,到18世纪Pell方程理论得到了完美解决。
我们并不知道两千多年前的人们为什么会去思考Pell方程的解,但神奇的是后来的人们依然对其产生无穷的兴趣,而且得到了令人惊叹的成果。也许,数学在人类社会开始去思考它的时候,它的发展轨迹就被勾勒出来了。


声明:文章转自【Matrixor小舍】微信公众号,版权归原作者所有,转载仅供学习使用,不用于任何商业用途,如有侵权请联系删除,谢谢。

相关文章

奇妙的数字:巧合数

Posted by - November 10, 2017 402
世界上,无时无刻不在发生着一些看似偶然的巧合,有让人遗憾的,也有让人庆幸的,在数学上,也有很多的巧合。

数学之美|填色游戏

Posted by - November 09, 2017 451
人们提起数学之“美”时常意指其抽象涵义,罗素称之为“朴素冷峻之美……庄严纯净,能够达到严格的完美”。然而,人类也一向从数学中发现审美上的...