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原本研究解析数论的他,帮助NASA把“阿波罗”号飞船送到月球

这位阿波罗登月背后的功臣数学家,鲜有人知,却有着不同凡响的人生。
在2013年,一件轰动数学界特别是中国数学界的事件是,一位不太为人知的时年58岁的数学家张益唐证明了一个弱形式的孪生素数猜想:存在无穷多个之差小于7000万的素数对。张益唐的成果让很多追求这个终极目标的数学家们又重新燃起了希望,此后,数学家们迅速将7000万降到了246。
张益唐的生活从此改变:学校从合同工讲师把他立马提升到正教授,各种奖励接踵而来,各大名校纷纷邀请他加盟,中国数学界对其盛情邀请。常人们则把话题的焦点集中在了张益唐这样做是否值得的问题上:万一他一辈子都做不出这样的结果来,那他一辈子可能就是一个大学合同工讲师。在我们回答这个问题之前,先请读者来看另一个人的故事。这个人也试图攻下孪生素数猜想,曾经以为自己成功了,但终究以失败而告终。如果他地下有知张益唐的研究成果会作何感想呢?他就是美国范德堡大学的数学家理查德·阿仁斯道夫(Richard Arenstorf)教授[1]。

图1:阿仁斯道夫(1966年)
阿仁斯道夫1929年11月7日在德国汉堡出生。他的德文名字是Richard Franz Joseph Shultz-Arenstorff。对于他,我们知道的很少。可能因为他是一个德国人,英文的资料很少,但维基百科上居然没有他的德文条目,让我们有些惊讶。经过一番费力的搜索和查询,我们只能得到如下的信息:阿仁斯道夫的父亲在他幼年的时候就独自离开了德国,母亲则因反对法西斯而死在了纳粹的监狱里。他由养父母抚养成人。高中毕业后,他进入了汉堡大学数学系学习,后转学哥廷根大学。在汉堡读书期间,他认识了同系的雷娜特·曼泽克(Renate Manseck)。他们经过三年的拉锯式恋爱,终于走进了婚姻的殿堂。阿仁斯道夫于1952年和1954年分别获得哥廷根大学数学学士和硕士学位,1956年在美茵茨大学汉斯·罗巴赫(Hans Rohrbach[2])教授的指导下获得博士学位。他的论文题目是“实二次数域剩余类上的素数的二维分布”[3]。这属于解析数论的范畴。因为他大量使用了复变函数的方法,所以掌握了娴熟的复分析技巧。在这一点上,他的工作很类似于用黎曼ζ函数于数论的思路。我们推荐读者阅读卢昌海的精彩科普文章“黎曼猜想漫谈”。

图2:美茵茨大学
阿仁斯道夫的导师罗巴赫不算是一个大数学家。罗巴赫1932年从柏林大学获得博士学位,主要研究领域是堆垒数论。二战期间他参加了纳粹党,甚至冲锋队,但又不被信任,因为他与一些犹太裔的同事保持良好关系。由于他的专业是数论,他被调到纳粹解码部门,曾经成功解开了美国驻柏林使馆的通讯。这一点上,他与图灵做的很相似,但他的名气则完全不能和图灵相比。二战结束后,他改信基督教,在这方面花了大量时间。不知阿仁斯道夫怎么会到美茵茨大学去找这样一位导师。几乎可以肯定的是,他已经意识到了这位导师不是太在行,所以有意把哥廷根大学的著名数论专家卡尔·西格尔(Carl Ludwig Siegel,1896-1981)请进自己的博士学位委员会里。一种可能就是他本来是想跟西格尔的,但是西格尔在1956年之后不再收学生(他的最后一个博士生毕业于1957年)。尽管没能成为西格尔指导的学生,西格尔对阿仁斯道夫的影响还是很大的。我们在阿仁斯道夫的博士论文中可以看到许多西格尔的思想。而另一个重要的影响是西格尔在天体力学方面的工作,特别是三体问题。这应该是阿仁斯道夫后来搞起了弹道导弹和卫星轨道问题的重要原因。
获得博士学位后,阿仁斯道夫回到了哥廷根。正好这时,美国到德国搜罗人才,一个三人小组找到了他。1957年,在得到了丰厚的房车许愿之后,阿仁斯道夫接受了陆军弹道导弹局(Army Ballistic Missile Agency,ABMA)的非军事编制的科学家任命,他带领妻子和一个刚刚出生的儿子移民美国。1960年在归化为美国公民时把全家的姓简化成了Arenstorf,显然是为了纪念他的英雄母亲。这个陆军弹道导弹局是个什么单位呢?ABMA成立于1956年2月。它的技术主任就是大名鼎鼎的德国V1和V2火箭的总设计师沃纳·冯·布劳恩(Wernher von Braun,1912-1977)。“PGM-11红石(Redstone)”是ABMA的第一个重要项目,基本上是V2火箭的继续。美国海军研究实验室搞的第一个发射卫星的“先驱计划”失败后,布劳恩搞的中程弹道导弹IRBM“丘比特—C型火箭”正好适用于发射美国第一颗人造卫星的“朱诺一号运载火箭”的设计要求。1956年9月,美国使用“丘比特-C型火箭”成功发射了一个卫星模型。人们普遍认为,如果当时美国政府允许搭载真的卫星的话,那世界上第一颗人造卫星就不是苏联人发射的“斯普特尼克1号”卫星了。1958年1月,“丘比特-C型火箭”将美国第一颗人造卫星“探险者1号”送入地球轨道。阿仁斯道夫就是在这样一个大环境中加入了布劳恩的团队的。1960年,ABMA被合并到NASA,阿仁斯道夫也随着变成了NASA的一名科学家,仍然在布劳恩的手下工作。

图3:阿仁斯道夫转为NASA科学家时的照片
阿仁斯道夫的专业方向是数论,听起来跟天体力学完全没有关系。即使他拿到博士后立即转行,也很难想像他能被布劳恩选中研究天体轨道问题。这里的关键是他使用的研究工具——复分析。前面说过,他的博士论文结果是用的复分析。现在我们再来看看他是怎样把复分析用到天体力学里,具体地说就是怎样用到三体问题中的。

图4:三体问题图释
三体问题是天体力学中的基本力学模型。它是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体,在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。这是一个有三百多年历史的古老问题。历史上,包括欧拉、拉格朗日和庞加莱在内的著名数学家都研究过。如果把这些运动方程都罗列出来一共有9个方程。现在已经知道,三体问题不能精确求解,即无法预测所有三体问题的数学情景,只有几种特殊情况已有研究结果。但即使是用数值解法,也不能得到稳定的解,因为初始值的一点波动都会导致解完全不同。庞加莱率先考虑了一个特殊的情况:在三个天体中有一个的质量与其他两个相比如此之小到了可以忽略其对另两个大天体运动的影响。这样,两个大的天体就可以看作是一个二体问题。而二体问题早在牛顿时代就已经圆满解决了。也就是说,它们可以按照开普勒定律绕着它们的质量中心作稳定的椭圆运动。然后把小天体加入到这个二体系统中,看这二体对小天体的影响。这样的三体问题称作是限制性三体问题。其方程从9个减少到3个。

图5:地球和月球在一个平面上
NASA要研究的正是一个限制性三体问题,因为NASA关注的是在1960年代末的登月问题。而前人还没有找到一条让人造卫星飞向月球的路线。所以阿仁斯道夫所面对的三体就是[4]:地球(E)、月球(M)和人造卫星(P)。显然,地球的质量远远大于月球的质量。而人造卫星的质量对地球和月球运动的影响可以忽略不计。这三体都被看作是点质量,并且是在同一个平面上。于是这个平面就可以被看作是一个复平面。假定这个三体系统的总重量为1,月球的质量为μ(0 <μ<< 1),则地球的质量为1-μ。取地球和月球的重心为坐标系的原点,则人造卫星的轨迹满足一个复常微方程:

其中复数\(x(t)=x_{1}(t)+ix_{2}(t)\) 是人造卫星的位置向量。也就是说,阿仁斯道夫把问题简化到了一个方程和一个复变量的问题。当μ= 0时,这个方程的解描述的是经典开普勒运动:\(x(t)=e^{-it}z(t)\),这里复函数z(t) 是方程\({z}''(t)=-z(t)\left | z(t) \right |^{-3}\)的一个特解。在一定条件下,这个解是一个周期解,即沿着一条椭圆轨道做周期运动。当μ在零点附近做小的扰动时,出现两种情况:一个是庞加莱发现的圆周运动,另一个就是阿仁斯道夫得到的解。假定椭圆轨道的半长轴为a,离心率为ε,在t = 0时,\(z(t)=a\cdot (1+\varepsilon )\)\(z(t)=ic^{*}/z(0)\),其中常数c*满足\(c^{*2}=a\cdot (1-\varepsilon ^{2})\)。它的轨道周期为\(T_{0}=2\pi \left | a^{3/2} \right |\)。这时,相应的x(t)成为周期函数的充分必要条件是T0与2π可共度,也就是说存在两个互素的整数m和k使得\(a^{3/2}=m/k\)。阿仁斯道夫的解就是围绕不同的m和k得到的。所以,他得到的是一组解。
在阿仁斯道夫的结果基础上,他们团队用当时最先进的计算机对这些解进行了数值计算。下面两个图是其中两个例子。

图6:m = 1, k = 2,μ= 1/82

图7:m = 2, k = 5,μ= 1/82
在这族曲线中有一个八字形的曲线(不在本文中),其两个瓣分别包含地球和月球。这就是NASA选用的阿波罗飞船飞向月球的轨道的基础。理论上讲,沿着这条轨道,飞船可以在不开动发动机的条件下在这条轨道上永远飞行。而且阿仁斯道夫通过计算得到了一条特别低的轨道。所以NASA需要做的就是,用“土星5号”大推力火箭把飞船送入地球轨道,然后进入这条地月之间的轨道飞向月球。在到达月球上空时再脱离这条地月轨道进入月球轨道。如果出现意外,飞船可以不插入月球轨道而直接在这条地月轨道上返回。“阿波罗”8号、10号和11号都做好了失败的第二手准备,不过都没有用上。在“阿波罗”13号发生氧气罐爆炸事件后,NASA就是用的阿仁斯道夫设计的紧急返回轨道。阿仁斯道夫还设想把这条轨道作为“太空公交车”(space bus)的路线。后来这条轨道被人们称为“阿仁斯道夫轨道”。NASA在1966年授予他“特别成就奖”(Exceptional Achievement Medal)。《尼古拉·布尔巴基眼中的纯数学》(A Panorama of Pure Mathematics as Seen by Nicolas Bourbaki)一书中两次引用了他的结果。从此他的名字永远地留在了载人航天的史话中。

图8:1969年“阿波罗”11号飞船的轨道

图9:1968年,NASA授予阿仁斯道夫“特别成就奖”
阿仁斯道夫在三体问题上继续研究。1968年,他证明了,在旋转坐标系下,将二体中的一个天体分为一对密近双星,总质量和质心不变,通过延拓双星间的距离,两个密近双星围绕其质心作椭圆型周期运动情形的存在。

图10:在范德堡大学当教授时的阿仁斯道夫
在阿姆斯特朗和奥尔德林乘“阿波罗”11号飞船于1969年在月球上成功登陆之后,阿仁斯道夫知道已经完成了自己的任务。现在该是他继续追求自己的数学研究的时候了。带着自己在NASA取得的成果,他果断辞职,加盟范德堡大学,转身成了大学数学教授。在范德堡大学,他除了继续三体问题的研究外,他还重新捡起了自己的老本行:解析数论。在三体问题方面[5],1977年,他和学生罗伯特·波兹曼(Robert Bozeman)一起证明了对限制型N + 1问题,N个大天体构成N体共线中心构形并围绕其质心作圆运动,围绕其中任一个大天体的椭圆轨道的存在,小参数是无摄开普勒轨道周期与大天体运动周期比的三分之一次方。1978年,阿仁斯道夫在自己1968年的结果和他与波兹曼的结果基础上,证明将N 体共线中心构形中任一个大天体分为小质量比的一对密近双星,该系统仍有周期解存在。在数论方面,他似乎没有太大的成绩。比较有代表性的有他在1957年发表的博士论文(发表在著名的“数学与应用数学杂志”上)和两篇他到范德堡大学之后的论文:“Theta 函数的部分分式展开”(1972,报告71-7,NRL报告7341。海军研究实验室)和“用模形式研究三维球体上整点的均匀分布”(1979,数论杂志)。从引用率看影响都低。他大概一直像张益唐一样,在潜心研究孪生素数猜想。因为有人问他在取得博士学位后为什么长期不发(数学)论文,他确实解释过,他不想发没有意义的文章。不过他的境况比张好多了。有了在NASA取得的成就,他可以安稳地坐在范德堡大学教授的椅子上研究天体力学和数学,还在这两个领域里带出了数名博士。他能传承西格尔的风格,在天体力学和解析数论这两个领域保持研究,这样的人在当今已不多见。
2004年5月26日,阿仁斯道夫在arXiv.org上发表了一篇38页长的论文“有无穷多孪生素数”(There Are Infinitely Many Prime Twins)。这个消息当时曾经引起轰动,但一周后他就突然宣布他的证明存在一个致命的错误,并将他的论文撤下来。在他这次尝试失败之后,有一名过去的学生回忆这位复分析课的老师说:他的作业记分系统有四种分数:R(“正确”),R/2(“半正确”),O(“零”),F(“失败”)。也就是说,零分不算是最差的。每周作业有三至四题,都要花费整个一周的时间去完成;期末考试有10道题。这名学生很高兴自己得了一个“B+”。看来这位教授很不容易对付。但学生最后说:“被阿仁斯道夫过高的估计是我的荣誉。”“我其实欣赏作为一个数学家和一个人的他。我很遗憾他的孪生素数的证明没有成功。”另一位听过他的课的学者认为,他的证明是“只差一点点”(near miss),因为他的证明虽然没有证明出孪生素数猜想,仍然是对数学的一个贡献;从长远意义上说,一个只差一点点的大的猜想的证明比一个不重要的定理的成功证明可能更有意义。
在突击孪生素数猜想失败后,阿仁斯道夫非常失落。虽然这时他已经是荣休教授,但他还在系里做一些事情。他决定完全退下来,回家与妻子安度晚年。他们夫妻在德国最困难的时候结婚,二人自始至终相爱如初。他们共同养育了三个儿子[6]:大儿子Gerhard 在德国出生,曾经代表美国参加过国际奥数比赛并获得银牌(1974),但就在这一年,他在一次意外事件中他从自家后院的树上摔了下来,伤重而死,死时才18岁。二儿子Norbert本来是一位很有希望的计算机科学家,但不幸得了淋巴癌而英年早逝,年仅34岁(1996)。目睹了两位哥哥的死亡后,三儿子Hartwig精神上受到了刺激,本来就内向的他更加深居简出。后来他竟然辞去了基因工程研究员的工作,断绝了与家庭的来往,独自搬到加州沙漠地带。这对阿仁斯道夫夫妇,特别是对作为母亲的雷娜特造成了巨大的精神打击。2011年,雷娜特被发现得了乳腺癌。在与癌症搏斗两年后,她先他而去。2014年9月18日,阿仁斯道夫心脏衰竭,在自家去世[7]。一位经受了多重打击的老人就这样静悄悄地离开了我们,但是他为人类首次登月做出的贡献值得每一个人骄傲,他走过的一生道路给了我们另一个思考。


鸣谢:衷心感谢Wolfgang Harms先生和Deb Stone女士的帮助,特别感谢Harms先生提供的照片。衷心感谢样同海教授提出宝贵意见。


注:
[1] Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Arenstorf
[2] Wikipedia, https://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Rohrbach
[3] R. Schulz-Arenstorff, Über die zweidimensionale Verteilung der Primzahlen reell-quadratischer Zahlkörper in Restklassen, J. Reine Angew. Math. 198 (1957), 204–220
[4] R. Arenstorf, Periodic solutions of the restricted three-body problem representing analytic continuations of Keplerian elliptic motions. Amer. J. Math. 85 (1963) 27–35
[5] 徐兴波, 空间椭圆型限制性三体问题的一类对称周期解, 中国科学院紫金山天文台硕士学位学位论文
[6] Deb Stone, FEATURE: Find Me: Hartwig Paul Josef Arenstorf, http://thelifesentence.net/book/find-me-hartwig-paul-josef-arenstorf
[7] Obituary: Richard F. Arenstorf, Celestial Mathematician, Vanderbilt Magazine


本文已发表在《数学文化》杂志第7卷第2期以及笔者与王淑红教授合著的《数学都知道》丛书第3册上,原标题为《阿波罗登月中的功臣数学家阿仁斯道夫》。


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