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指数函数和自然对数

一、导读
我经常想e真正的意义是什么呢?不是字母本身含义,而是作为一个数学常数的含义。
通过查阅自然对数的定义,你会发现:这个数学常数e是基于自然对数产生的。
自然对数原名为双曲对数,他是基于一个无理常数e=2.71828…这是一个正确的,但是毫无用处的循环定义。
很多数学书的解释严谨却枯燥无味,并不适合初学者理解。现在收好你们那些枯燥无味的数学书,我将向你们展示我的领悟,高水平的洞察力。
二、e不只是一个数字
如果你认为是与一样的无理数。确实,这是正确的,但是你的理解只是停留在表面。
π是圆周长与半径的比,他是所有圆都与身俱来的的比例。影响着圆的周长和面积、球体的面积和体积等的计算。π说明了所有圆都是有关联的,并且三角函数也是起源于此。
e是连续增长系统的极限增量,e让你得到那些一纳秒增长一点点的复合增长的极限结果。他说明了无论那种系统的增长都是以连续的指数的形式增长的。如人口、反射性衰变等等都是用e来表示出来的。
e也是所有增长系统的单位增量。这就像每一个数字都可以用一个单位数字1来表示,每一段线段都可以用一个单位线段来表示,每一个系统增量都可以用一个单位增量e来表示。
三、理解指数增长
让我们从一个基本的系统来说起——翻倍的时间系统。
● 细菌可以在每24个小时就翻一倍。
● 如果你的收入是资产100%,那么你的资产可以每年翻一倍。
那么这些看起来如下图:


图1
用小圆点表示:在每一次细菌进行分裂的时候,小圆点都分裂都成两倍。
如果我们让他分裂1次就得到,分裂4次那么就是,分裂x次,我们就会得到。
不失一般性:

用另一种方式表达的话,那就是以100%的增长率来表示:

事实上,这两个式子是等价的。
当然,我们可以使用任何的百分率(25%、50%、75%……)来代替100%,就会得到一个新的增长率公式,所以不失一般性,所有的式子可以表示为:

四、细究
我们的式子中增量是以离散的方式分布的,我们的细菌是等待一段时间后,在某个时刻突然分裂出另一个。我们感兴趣的是,细菌如何像魔术一样的到达某时刻时突然分裂出另一个呢?基于增量公式,绿色细胞是突然在一个单位时间出分裂出来(如上图)。但现实不是如此,如果你放大来看(如下图),细菌每时每刻都在分裂。


图2
绿细胞并没有立即被分裂出来,而是慢慢地进行着。当到达一个单位时间,绿细胞就分裂完整了。然后他就会变成一个新的蓝细胞然后继续刚刚的分裂。
在这个式子中,条件改变了么?
没有,在这个细胞分裂的情形中,分裂一半的绿细胞依然啥事都没做,直到他完整的从蓝细胞中分裂出来。
五、钱
但是钱的计算过程是不相同的。当我们用一美分获取利息时,这一美分每时每刻所产生的利息都可以立即成为本金继续产生利息。我们并不需要等待他直到我们能完整赚得一美元后。
基于我们旧的思考方式,利息增长看起来如下图:


图3
这并不是正确的答案,我们的利息增长不是在某个时刻突然产生的。让我们放大来看,我们的利息每时每刻都在增长。我们可以在一年内赚取100%的金额,也可以在6个月内赚取50%的金额。然后,后6个月赚取剩下的50分:


图4
但是这仍然不正确!在六个月时,我们已经有50美分了,我们忘记了一点,就是这50美分在接下来的时间里也会有利息的。如下图:


图5
因为我们的比例是50%每半年,所以50美分会赚得25美分,所以下一年,我们将得到
原来的一美元(蓝点)
一美元所赚得的一美分(绿点)
50美分所赚得的25美分(红点)
我们一共获得2.25美元。让我们回到一开始的公式,增量可以写成如下公式:

六、深究复杂的增长
是时候步步深入了,刚刚我们用50%代替了100%,如果我们继续放大,使得每4个小时增长来赚取我们的利息,我们画出更多的点来看看情况:


图6
0月:我们从蓝点一美分开始
4月:蓝点已经赚取了自己的1/3,得到了绿点,约为33美分
8月:蓝点赚得另一个33美分,然后把它给你绿点,绿点变成66美分。33美分的绿点也赚取了自己的1/3产生了红点,约为11美分。
12月:这些东西变得更疯狂,蓝点有赚得33美分,再一次的给了绿点。66美分的绿点也赚得了自己的1/3,约为22美分,并给了红点。11美分的红点也赚得了33%,产生了紫点,约为4美分。   
完美!前后12个月一共赚得1+1+0.33+0.04=2.37
我们重新整理一下这些增长变化是如何发生的吧:
每一种颜色点把他自己的利息传给另一种颜色。而新产生的金钱又会赚取自己本身的利息,如此循环反复。
蓝点原来的金钱始终没有改变,每4个月提供固定33美分给绿点。如图,蓝点上的蓝色箭头所表示的就是他如何提供给绿点。
作为绿点,他无时无刻的增长,同时他提供给红点的金钱也越来越多。在4~8月之间绿点给红点11美分;在8~12月之间,他给了22美分给红点,因为在第8个月绿点变为66美分。如果继续写下去,那么绿点会给红点33美分,因为绿点在12月时已经变为一美元了。
懂么?万事开头难,所以我把我的思路和图表放在一起,以便于大家理解。如此我们就得到了一个增长率为1/3的等式
我们一共得到了2.37美元,比之前的2.25美元多了0.12美元。

七、我们的获得的金钱能无限增长么?
为什么我们不用更小的增长率来获得跟多的金钱呢?我们获得金钱只会趋近于一个点,我尝试着用数据证明这个问题,而不用复杂的微积分:


表1
n取得越大值,他的结果越接近2.71828……,等会,这不就是我们的e么?
没错,在令人厌恶的数学中,e被定义为连续增长系统的极限增量:

这个极限式子的结果就是e,同时,正如你所见,我们最后的金钱只能接近于e,而不能无限上涨。
八、他们全部的含义是啥?
e是一个时间单位内的增量。在每一个微小的步骤中所创造的利息也会开始增长。当所有事情都完成时,你就会的到e。
所以,如果你从一美元开始,我们就会得到1e,如果我们从2美元开始,那么我们就会得到2e。如果我们从11.79美元开始,就会的到11.79e。
e是一个增长极限。如光速c代表光的速度一样,代表着增长系统的增长速度,你不可能达到增长的极限,但是,依据这些参考点和通用的常数,你可以写下每一个增量
九、如果增长率不同呢?
这是个好问题,如果我们使用50%来代替100%,我们仍能得到e吗?
注意,如果用50%的复合增长率,我们能得到如下公式:

那么,接下来我们该怎么办呢?如上所说,50%是增长率,而数字n是代表将复增长率分为n个周期进行复合。如果n为50,那么,就是把50%分为50个周期,每个周期为1%。

那么,回忆一下,我们在上面表格中也有100%分为100分,即:

恩,好像有什么相似的地方,我们把100%分为100份,每份是1%;50%分为50份,每份也是1%。如此就能得到下述公式:

这非常神奇,,这跟e的幂是一样的。如果我们换成300%,那么,e的幂也会变为3倍,即。
虽然我们使用的是1%,但是你可以用任何一个更小的数,如0.1%、0.01%等等,但是得到的结果都是一样的,那就是如下公式:

如果是不同的单位时间呢?
如果我们300%的单位时间是2年呢?通过我们的证明得到如下:
(证明过程不在赘述,有兴趣同学可自己查阅下方参考文献。)

不失一般性:

这就是数学的魅力,我们通过幂的形式吧,增长率和单位时间联系在一起。
在函数中,我们能得到如下的两个信息:
x可能是增长率为100%,单位时间为3年,即
x也可能是增长率为300%,单位时间为1年,也为
让我解释下这个现象,这是说明100%的增长率在3年内和300%的增长率在1年内的总影响是相同的,而不是以后每个时间段都相同。

 
注:本文内容部分翻译自:https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/


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