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从群论角度理解欧拉公式

摘要:欧拉公式是我认为最美的公式,没有之一。他将自然底数e、圆周率π、虚数单位i、自然数的起始1用等号联系在一起,仿佛解释了世上数与数的关系。


前段时间我们讲解了的内涵,今天我们来讲的含义。
如果你稍微学过数学分析或者高等数学,想必你应该知道如下公式:


当你学习这个公式的时候,你是否想过这个公式背后有哪些不可告人的秘密呢?华罗庚曾经写过这么一首诗:
数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞;
数无形时少直觉,形少数时难入微;
数形结合百般好,隔离分家万事休;
切莫忘,几何代数流一体,永远联系莫分离。
所以,公式是不可思议的咒语,我们找到他背后的“形”来解开他的秘密。
一、基础群论
群论是研究对称性本质的一个领域。
例如正方形是一个对称图形,什么意思呢?换句话说,你在正方形上施加哪些作用能使他和原来一样。例如:
将他旋转90°
以中轴为中心翻转
我们把每一个作用称为“正方形的对称性”,而所有的对称性的组成是一个“对称群”,简称为“群”。
同样,对于一个圆形来说,它以任意角度旋转都是对圆形的对称作用,这些作用落在 0到 2π 之间,这个我们称之为“旋转群”。这些作用的好处是,一个作用与圆上的一个点都是一一对应(也叫“映射”)的关系。
当然群论不只是研究一个对称集合是什么,群论的核心是了解对称性之间如何相互影响。例如:
在圆上,先逆时针旋转270°,再逆时针旋转120°,其效果等价于你直接逆时针旋转30°。
所以在圆的旋转群中,270°+120°=30°。
总的来说,群中存在某种运算使得作用A“加上”作用B等价于作用C。
二、加法群和乘法群
上面讲的东西都太过于陌生,我们来讲大家熟悉的东西——数。数包含了两个群:加法群和乘法群。
对于一条直线来说,对他进行左右滑动操作都能使他与原来重合,这个群也叫:直线的对称群。他像圆一样,每个作用和直线上的每个点形成映射关系。举个例子:
● 数字2,关联作用是数轴向右滑动2个单位长度。

图1
同理,-2,关联作用是数轴向左滑动2个单位长度。

图2
在实数中表达3+2=5,关联作用是数轴先向右滑动3个单位长度,再向右滑动2个单位长度,共滑动5个单位长度,这里不再作图演示。
在这个群里,每个滑动作用都和唯一的实数关联,所以这个群有个特殊的名字“实数加法群”,如果我们将这个结果扩展到复数域会怎么样呢?显然也是适用的,如:2+2i关联作用是复平面先向右滑动2个单位,再向上滑动2个单位。这个群,我们称之为“复数加法群”。

图3
大家想想对于一条直线,还有其他作用使他与原来相同么?对的,压缩扩张,这个群又叫“压扩群”。同样,他也像“加法群”一样每个作用和直线上的每个点形成映射关系。举个例子:
假设原点不动,数字2的关联作用是数轴上的1点被扩张两倍。

图4
同理,假设原点不动,数字4的关联作用是数轴上的2点被扩张两倍。


图5
当然对于数字4,假设原点不动,你也可以把他的关联作用看成是数轴上的1点被扩张四倍,这里不再作图展示。

在这个群里,每个压缩扩张作用都和唯一的实数关联,这个群同样有个特殊的名字“正实数乘法群”,如果我们将这个结果扩展到复数域会怎么样呢?例如2+2i,我们一起来尝试一下,同样,假设原点不动:


图6
然后,进行缩放:


图7
这次我们发现一个问题,无论我们怎么压扩,1点都无法离开实轴,所以,这个群不只有压缩扩张,还存在旋转。


图8
我们注意到,假设原点不动,i关联的作用是将1旋转90°。所以与 i 对应的乘法为旋转90°。如果我进行两次旋转,即让平面旋转180°:


图9
我们发现复平面上的任何一个点都可以通过先旋转,再缩放的形式求得,而这个群称为“复数乘法群”。举个例子:点2+i


图10
你可以这么想:我们先旋转约26.59°:


图11
然后再放大(根号5)倍:


图12
数字,不管是实数还是复数,都可以看作两个不同方式的群,他们既可以通过滑动得到,此时,群运算看上去是普通的加法运算;也可以通过旋转和缩放得到,此时,群运算看上去是普通的乘法运算。
三、幂运算
还记得你第一次学习幂运算时,老师怎么解释的吗?
是两个2相乘。
是三个2相乘。
是两个2乘上三个2,共五个2。
不失一般性,对于正实数来讲:


但是,当数域被扩充,我们会遇到幂是-1,1/2,甚至是i。前两者,我们让他们满足刚刚的公式,例如:定义为,因为所以,这种定义叫做“保持群结构”,有时我们会叫他为“良定义”。用原有思考方式很难得到i为幂的定义,但我们这样思考:

假设,函数是映射关系,我输入x,他输出。比如,我输入2,他输出4。当我输入i的时候,他会映射到,这是一种我们没有见过的映射,根据以上启发,与i相关的运算可看成旋转。此时数学家想到,把虚轴映射成一个圆从而解决幂是虚数的问题。


图13
将垂直滑动映射成旋转,即将直线上的复数,也就是i的倍数,映射到单位圆上的复数。记得实数上e的定义是什么吗?对的,单位时间的增长倍数(如果这个地方不懂,请查看我前期文章:指数函数与自然对数)。为“保持群结构”,把直线1单位增长映射到圆上1弧度增长,即:。同理,直线2单位增长映射到圆上2弧度增长,即:。直线π个增长映射到圆上π个弧度,即:,即走过半个圆,这就是数字-1:

 

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