酒吧博弈——少数者的胜利

摘要：本文介绍酒吧博弈，并建立模型对原始酒吧博弈的消费者按性格类型分组进行多次的决策模拟，并优化分组比例，与现实生活作对比分析。
一、酒吧博弈问题的提出
酒吧博弈的情况是这样的：100个人喜欢泡吧，每周五的晚上都要决定去酒吧喝酒还是待在家里收看综艺节目。因为爱尔法鲁酒吧的理想容量是60人，如果来喝酒的人数超过60人，那么来到的人会觉得比较拥挤，觉得不能愉快地消遣周末，相反留在家里的人觉得庆幸没去酒吧是正确的选择；反之，如果来喝酒的人数少于或刚好60人，喝酒的人就觉得挺舒适的，而没来的人却觉得后悔没去喝两杯了。问题就在这里：当一个人预测这次去酒吧的人超过60人时，他的选择是不去；反之则去，那么这100个人如何做出决定而不让自己后悔呢？
酒吧博弈——少数人博弈，首先是由美国经济学家亚瑟教授于1994年提出的，针对当时经济学的经济主体的行为决策理论提出的不同看法，这个博弈的前提条件是限制于每一个人所掌握的信息只有以前去酒吧的人数，只能参考历史数据来做出去与不去的决策，即当预测去酒吧的人数超过60人时他们会决定不去，结果去的人很少；相反，预测少于60人时而决定去，结果去的人很多。当去酒吧的人数很多，胜利的是没有去酒吧的少数；当去酒吧的人很少，胜利的是去酒吧的少数。
在完全理性的情况下，人们往往能做出与之预期的行为决策：假设每个人理性，决策独立，去与不去是取决于上一次去酒吧的人数，用概率来表示决策，通过Ｍarkov转移矩阵来刻画每个人每一次的决策：
\(\begin{bmatrix} 0.6 &0.4 \\ 0.6& 0.4 \end{bmatrix}\)
即第一行是上一次有去酒吧的人的这次决策：60%的概率决定去，40%的概率决定不去；第二行是上一次没有去酒吧的人的决策，由于假设每个人都是理性、无差别的，他们做出的预测将会同样是60%的概率决定去，40%的概率决定不去。因此可以看出，无论第一次多少人去，多少人不去，第二次都会变成60:40，而且以后每一次都是一样，甚至连第一次都准确预测。但是人们只根据历史的数据就能做出完全正确的预测吗？这几乎不可能，如果真是这样的话人们在股票市场能赚多少钱可想而知。
好，我们再假设每个人都是理性的，但这种理性是有限的；在投资学上，人的行为心理有一种羊群效应，容易受人影响，往往当结果不如自己预期时，很容易产生后悔。虽然在这个问题上做决策是独立的，但是每个人的思维都会不约而同地一致，而且有一定的自信，为了避免后悔则有转移矩阵：
\(\begin{bmatrix} 0.6+\varepsilon &0.4-\varepsilon \\ 0.6+\varepsilon & 0.4-\varepsilon \end{bmatrix}\)，其中，\(E\left ( \varepsilon \right )= 0\)，\(Var\left ( \varepsilon \right )= \delta ^{2}\)
当上一次去的人少于60或多于60时，人们这次想去的欲望使得预测出现了偏差\(\varepsilon\)，\(\varepsilon\)随机游走，所以每次去的人数总会在60上下摆动，理论上可证明，当次数足够多少时，\(\bar\varepsilon\)的方差会趋向于零，每次去与不去的比例会接近60:40，或去的人数在60附近波动，表明了人们通过不断学习和总结一定的经验可以改善自己的决策，提高准确率。出题者亚瑟教授也曾通过计算机模拟实验得出：刚开始去酒吧的人数没有一个固定的规律，但是经过一段时间后，去与不去的人数达到了一个相当稳定的比例，接近60:40，其中每个人并不会固定地属于去或者不去的人群。
然而，有趣的是，亚瑟教授也做过对真实人群的实验，发现人们多数会根据就近几次去酒吧的人数做出的决策，也就是通过归纳来预测，他们的预测结果呈现为有规律的波动，但是不会趋向于稳定，这正是人们每次都不可能做出正确的预测，才是真实存在的情况。
很显然，这跟理论上的解释是截然相反的，但对于我们来说，真实情况的不稳定比理论的趋于稳定更有现实意义，毕竟大多数的我们是没有理论上所假设的如此足够理性，也不会花如此多的精力在决定去不去酒吧这一件事上，更不会预测别人会不会去，更多的是看心情，或者根据朋友或网上的风评，最多也就是看看最近去的人数多不多，酒吧的生意好不好。那既然大家都是看心情，是不是说对这个问题的理论研究然并卵了呢？这不是废话吗！
二、酒吧博弈简化模型
两人之间的酒吧博弈——类似于斗鸡博弈，我们可以分别从两个喜欢喝酒的人的角度看：

表1：2人博弈（1表示正确决策，-1表示错误决策）
首先，1号和2号在位置上是对等的，同为消费者。他们如何决定自己去还是不去呢？假设上一次1号没有去2号有去，那这次1号想是因为上次2号去了，这次他会不去吧？那我就去咯！结果两个人都去了，大家都不爽。2号想是因为上次1号没去，这次他应该会去吧？那我就不去咯！结果两个人都没有去了。所以他们只有在一人不去的情况下，另外一人去酒吧喝酒，才能喝个痛快。但是要预测对方的行动是很难的，结果也难以意料，除非你非常了解对方或者两人商量好谁去谁不去。
当原始模型从100人变成5个人的时候，不能只看群体决策的随机性，而是需要考虑到具体每个人做决策的方法，即考虑每个人的决策性格。我们在这里可以设定五种人：
A是代表做技术分析的人，通过前几次的数据平均值做决策；
B是代表凭心情决定的人，即随机决策；
C是一直会去的人，即肯定决策；
D、E是根据上一次做出反映的人，符合原题设定；
通过模拟10次：

表2：5人模拟结果

图1：去酒吧的人数
同样，我们可以用1表示正确决策，-1表示错误决策，得出：

表3：5人模拟结果得分
这样的决策博弈并不是零和游戏，有可能全盘皆输。通过简单的10次模拟去酒吧的人数可以得出这样的结论：5个人的总得分都不大于零，其中只有C君为零，其余都为负值。也就是说，C做出正确和错误的决策次数相等，均为5次；A、B、D、E都是错误多于正确的。至少简单地论证了完全正确的预测不存在，而且经过一段时间也有可能难以做到。
三、对消费者类型分组模拟模型
回归原问题，对于100位客人来说，如何做决策才是最好的呢？换句话说，如何保证自己是处于少数人的那一部分？我们已经知道，做出准确的预测是不可能的，在现实的条件下，我们尽量希望自己的正确决策多于错误的，又或者在错的前提下我们希望下一次会是正确的决策。
我们可以利用计算机进行模拟，按以下步骤：
(1) 设定五大类的六种决策的人群，情况如下：
① A：不顾别人如何打算，喝酒万岁，总是会去；
② B：原题假设人群，当上一次去酒吧超过60人，这次不去，反之则去，可视为根据评价决策的一类；
③ C：逆向思维人群，与B相对，当上一次去酒吧超过60人，这次去；反之则不去；
④ D：技术分析人群，计算最近一个月的数据（即4周）的平均值，超过60时不去，反之则去；
⑤ 看心情，设定0-1随机数，来计算去酒吧随机人数，其中：
E：1/2是当连续出现两次去，而且人数超过60时，会自动退出；
F：1/2是完全看心情。
并且假设各人群在实验的过程中不改变他们的决策方法。
(2) 平均分配，各占20%，即20人，即：\(\left \{ A,B,C,D,E,F \right \}= \left \{ 20,20,20,20,10,10 \right \}\)。
(3) 计算机模拟，分10次模拟200周，观察情况去酒吧的人数波动。
(4) 将模拟结果得出的正确决策记为1，错误决策记为-1，计算每次的总得分，进行分析。

图2：比例为{20,20,20,20,10,10}的模拟结果人数
结果如下：

表4：比例为{20,20,20,20,10,10}的模拟得分结果（平均得分*是除去最大最小值的平均得分）
结论：在平均分配的不同性格群体下，每次去酒吧的人数处于波动之中，无法趋于稳定。A类人群和F类人群得分均为负值，实际上不必考虑得分如何，但理论分析上需要，A类人群的负值与E类的正值是对应的，说明酒吧会经常拥挤，每次去酒吧的人数经常超过60人，证明E类人群后来决定不去是正确的；而F类人群的负值说明在随机做决策时偏向于错误决策。B类人群得分基本为负值，但是平均得分-9.25说明错误决策比正确决策稍微多一点，但相差不大；C类人群与B相对，正确决策比错误决策稍微多一点；有趣的是，D类人群的技术分析起了反作用，得分是所有群体中最低的，而且低得可怜，200次决策中平均只有13到14次正确。
不足分析：① 群体人数平均分配与现实不相符；② A类总是去的人群和E类退出人群数量是否固定不变？③ 技术分析层面是不是不够深入？如果取全部历史数据计算又如何？④ 群体之间人数是否可以相互转移？
(5) 调整人群比例，考虑现实群体比例，B类人群根据评价和F类人群完全随机占多数， 模拟比例\(\left \{ A,B,C,D,E,F \right \}= \left \{ 10,30,10,10,10,30 \right \}\)，10次200周，观察去酒吧的人数波动，分析各群体得分。

图3：比例为{10,30,10,10,10,30}的模拟结果人数
结果如下：

表5：比例为{10,30,10,10,10,30}的模拟得分结果（平均得分*是除去最大最小值的平均得分）
结论：在B类人群和E类人群占多数的情况下，去酒吧的人数仍处于不停的波动，无稳定的趋势。A类人群的正值与E类的负值对应，说明去酒吧的人数经常不到60人，E类人群后来决定不去是错误的；而F类人群的负值依然说明在随机做决策时偏向于错误决策。B类人群比例增加使得得分大幅减少，正确率为22%，因为数量大的群体统一决策对总体的影响比较大，看似不合理，实质是跟原题里亚瑟教授对真实对象做的实验一致，符合少数人胜利的规则； C类与B相对，B的错误增多使得C的正确次数大大增加；D类群体在如此比例下可以利用技术分析来获得正值得分，但是收益不大，就如在弱式有效市场，单纯的技术分析不存在超额收益的可能性（通过模拟，也发现计算全部历史数据的平均值的结果是一样的，所以没有必要）。
(6) 尝试将得分负值的群体相应减少：将B类人群减少1/3，并且平均分配到其他群体，即模拟比例为\(\left \{ A,B,C,D,E,F \right \}= \left \{ 12,20,12,12,12,32 \right \}\)，10次200周，观察去酒吧的人数波动，分析各群体得分。

图4：比例为{12,20,12,12,12,32}的模拟结果人数
结果如下：

表6：比例为{12,20,12,12,12,32}的模拟得分结果（平均得分*是除去最大最小值的平均得分）
结论：在B类人群相对减少的情况下，去酒吧的人数仍处于不停的波动，无稳定的趋势。A的得分有所改善，酒吧的人数少于60人的次数增加；B的正确率为40%，提高了18%；D类人群技术分析的正确率稍微增加。
(7) 进一步减少B类群体的比例，为原来的1/2，平均分配到其他群体，即\(\left \{ A,B,C,D,E,F \right \}= \left \{ 13,15,13,13,13,33 \right \}\)，这样使得每一类有规则的决策群体人数占相当比例，而且比例不大。进行模拟10次，观察去酒吧的人数波动，分析各群体得分。

图5：比例为{13,15,13,13,13,33}的模拟结果人数
结果如下：

表7：比例为{13,15,13,13,13,33}的模拟得分结果（平均得分*是除去最大最小值的平均得分）
结论：同上一步，去酒吧的人数仍处于不停的波动，无稳定的趋势。A的得分相当，酒吧的人数少于60人的次数占63%；B的正确率接近为50%，进一步提高，可以认为是与C类人群数量相差不大时的结果；D类人群技术分析的正确率基本无变化。
(8) 将B类人群再减少1，即14，发现得分结果更优，B、C人群平均得分向零接近，在区间(-1.5,1)内变化。
四、分组模拟模型总结
根据以上结论可知：
① 只要存在多种决策的群体，那么每次去酒吧的人数会无规律地不停地波动；
② 当根据上一次结果即参考朋友或者网上评价来做决策的人群发现这样做不妥之后，可能会改变策略，导致比例减少，而使得正确率提高；
③ 占比例较大的群体得分为较大的负值，随着该群体的人数减少，得分逐步提高，向零或正值变化；
④ 当随机群体占相当大比例时，每次的人数多数也不会超过60人，他们随机选择错误的可能性也会增大；除了随机人群F外，当其他人群比例相当时，去酒吧的人数占总数的2/5或3/5，所以正确率主要受到随机人群的影响。
实验模型的不足之处：① 实质模型设置的人群并不固定，属于固定比例的流动人群；② 针对于每一个个体的决策来进行模拟比较麻烦，用群体作为实验对象对比例的假设有较高难度；③ 个体有可能在过程当中改变自己的策略，导致群体比例动态变化，其中如果退出人数的比例增加，则有可能使得去酒吧人数越来越少，低于60从而趋向于稳定，即固定去的人数增加一定数量；又基于群体的流动性，退出人群减少，新的人群加入分配到其他各群体，导致新一轮的循环；④ 随机人群实际的影响可能被放大，一开始的时候随机人群数量较多，如果是固定人群，在实验过程中随机人数会不断减少。