摘要：本文为大家简单介绍纳什平衡的经典例子——枪手博弈的背景、应用现状和应用前景。
一、枪手博弈的背景
彼此痛恨的甲、乙、丙三个枪手准备决斗。甲枪法最好，十发八中；乙枪法次之，十发六中；丙枪法最差，十发四中。
1. 一颗子弹，同时开枪
先提第一个问题：如果三人同时开枪，并且每人只发一枪；第一轮枪战后，谁活下来的机会大一些？一般人认为甲的枪法好，活下来的可能性大一些。但合乎推理的结论是，枪法最糟糕的丙活下来的几率最大。
我们来分析一下各个枪手的策略。枪手甲一定要对枪手乙先开枪。因为乙对甲的威胁要比丙对甲的威胁更大，甲应该首先干掉乙，这是甲的最佳策略。同样的道理，枪手乙的最佳策略是第一枪瞄准甲。乙一旦将甲干掉，乙和丙进行对决，乙胜算的概率自然大很多。枪手丙的最佳策略也是先对甲开枪。乙的枪法毕竟比甲差一些，丙先把甲干掉再与乙进行对决，丙的存活概率还是要高一些。
我们计算一下三个枪手在上述情况下的存活几率：
① 甲：24%（被乙丙合射40％ X 60％ = 24％）
② 乙：20％（被甲射100％ - 80％ = 20％）
③ 丙：100％（无人射丙）
通过概率分析，发现枪法最差的丙存活的几率最大，枪法好于丙的甲和乙的存活几率远低于丙的存活几率。
2. 两颗子弹，同时开枪
在第一轮枪战后，丙有可能面对甲，也可能面对乙，甚至同时面对甲与乙，除非第一轮中甲乙皆死。尽管第一轮结束后，丙极有可能获胜（即甲乙双亡），但是，如果甲乙在第一轮枪战中没有双亡的话，在第二轮枪战结束后，丙的存活的几率就一定比甲或乙为低。
第二轮枪战中甲乙丙存活的几率粗算如下：
① 假设甲丙对决：甲的存活率为60％，丙的存活率为20％。
② 假设乙丙对决：乙的存活率为60％，丙的存活率为40％。
这似乎说明，能力差的人在竞争中耍弄手腕能赢一时，但最终往往不能成事。下面用严格的概率方法计算一下两轮枪战后，甲乙丙各自的存活的几率。
(1) 第一轮：甲射乙，乙射甲，丙射甲。甲的活率为24％(40％ X 60％)，乙的活率为20％(100％ - 80％)，丙的活率为100％（无人射丙）。
(2) 第二轮：
① 情况1：甲活乙死(24％ X 80％ = 19.2％)，甲射丙，丙射甲──甲的活率为60％，丙的活率为20％。
② 情况2：乙活甲死(20％ X 76％ = 15.2％)，乙射丙，丙射乙──乙的活率为60％，丙的活率为40％。
③ 情况3：甲乙皆活(24％ X 20％ = 4.8％)，重复第一轮。
④ 情况4：甲乙皆死(76％ X 80％ = 60.8％)，枪战结束。
A. 甲的活率为12.672％(19.2％ X 60％) + (4.8％ X 24％) = 12.672％
B. 乙的活率为10.08％(15.2％ X 60％) + (4.8％ X 20％) = 10.08％
C. 丙的活率为75.52％(19.2％ X 20％) + (15.2％ X 40％) + (4.8％ X 100％) + (60.8％ X 100％) = 75.52％
通过对两轮枪战的详细概率计算，我们仍然发现枪法最差的丙存活的几率最大，枪法较好的甲和乙的存活几率仍远低于丙的存活几率。
3. 一颗子弹，互不相知
上面的例子隐含一个假定，那就是甲乙丙三人都清楚地了解对手打枪的命中率。但现实生活中，因为信息不对称，比如枪手甲伪装自己，让枪手乙和丙认为甲的枪法最差，在这种情况下，最终的幸存者一定是甲。所以，无论是历史，还是现实，那些城府很深的奸雄往往能成为最后的胜利者。
假定，甲乙丙三人互相不了解对手的枪法水平。在这种情况下，甲被乙射、甲被丙射、甲被乙丙射及甲不被乙丙射的机率各为25％，按贝氏(Bayes)定理计算甲的存活率：
① 甲活率：31％（[被乙射：25％ X 40％ = 10％] + [被丙射：25％ X 60％ = 15％] + [被乙丙射：25％ X 40％ X 60％ = 6％]）。
② 乙活率：23％（[被甲射：25％ X 20％ = 5％] + [被丙射：25％ X 60％ = 15％] + [被甲丙射：25％X20％X60％ = 3％]）。
③ 丙活率：17％（[被甲射：25％ X 20％ = 5％] + [被乙射：25％ X 40％ = 10％] + [被甲乙射：25％ X 20％ X 40％ = 2％]）。
在枪手互相不知道对手命中率的信息的情况下，这时命中率最高的枪手甲存活的几率最大，枪法最差的丙存活的可能性最小。
二、枪手博弈的应用现状
虽然这个简单模型的结论因为一反常理而让人记了下来，但随着枪手博弈现已经越来越为广大人所熟知，增加子弹数量，同时开枪与顺序开枪，三人的命中率的改变等条件的变化，都会引起结论的变化，也越来越引起人们的研究兴趣。譬如三国演义的背景套用等。
三、枪手博弈的应用前景
除了三个枪手，模型套在国家与国家之间的博弈也是十分贴切的。弱国如何通过引入次强国与强国之间的制衡，来求得自己的一片生存与发展的空间等，都有极大的研究价值。
枪手博弈简介
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