摘要：下面这些文字来源于我在初三数学竞赛课的一份讲义。这节课的主题本是四点共圆，但由此引出了三角形中很多漂亮的性质，让人深感数学之美。在此整理出来，献给所有还在中学读书的读者，以及早已远离中学数学的80后。不管大家是否喜爱数学，想必都会被这些奇妙的结论所震撼。
三角形的奇迹首先表现在各个“心”上：三角形内部的每一组有几何意义的线条都交于一点。三条角平分线交于一点，这个点就叫做三角形的“内心”，它是三角形内切圆的圆心；三边的中垂线交于一点，这个点就叫做三角形的“外心”，它是三角形外接圆的圆心；三角形的三条中线也交于一点，这个点叫做三角形的“重心”，因为它真的就是这个三角形的重心，用力学方法可以很快推导出，它位于各中线的三等分点处。这些心将会在本文后面某个出人意料的地方再次出现。
图1
三角形的三条高也不例外——它们也交于一点，这个点就叫做三角形的垂心。
垂心看上去很不起眼，但深入研究后即会冒出很多奇妙的结论。由于两个斜边重合的直角三角形将会产生出共圆的四点，因此画出三角形的三条高后，会出现大量四点共圆的情况，由此将挖掘出一连串漂亮的结论。让我们先来看一个简单而直接的结论：
定理：若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，则∠1=∠2。
图2
证明：由于∠AFC=∠ADC=90°，因此A、C、D、F四点共圆，因此∠1=180°–∠CDF=∠A。同理，由A、B、D、E四点共圆可知∠2=∠A，因此∠1=∠2。
如果把三边垂足构成的三角形称作“垂足三角形”的话，我们就有了下面这个听上去很帅的推论：
推论：三角形的垂心是其垂足三角形的内心。
图3
证明：因为AD垂直于BC，而刚才又证明了∠1=∠2，因此∠3=∠4，即HD平分∠EDF。类似地，HE、HF都是△DEF的内角平分线，因此H是△DEF的内心。
另一个有趣的推论如下：
推论：将△ABC沿AC翻折到△AB'C，假设EF翻折到了EF'，则EF'和DE共线。
图4
证明：这可以直接由上图中的∠1=∠2推出。
1775年，Fagnano曾经提出了下面这个问题：在给定的锐角三角形ABC中，什么样的内接三角形具有最短的周长。这个问题就被称作“Fagnano问题”。Fagnano自己给出了答案：周长最短的内接三角形就是垂足三角形。下面我们就来证明这个结论。
定理：在△ABC的所有内接三角形中，垂足三角形△DEF拥有最短的周长。
图5
证明：像上图那样，把三角形翻折五次，得到折线段DEF1D2E2F3D4。这条折线段的总长度等于内接三角形DEF周长的两倍。注意到，由前面提到的垂足三角形的性质可知，这条折线段正好组成了一条直线段。另外，注意到如此翻折之后，BC和B2C2是平行且相等的，而且D和D4位于两线段上相同的位置，因此从D到D4的折线段总长以直线段DD4最短。这就说明了，垂足三角形△DEF拥有最短的周长。
不过，这还不够震撼，垂心还有不少的本事，四点共圆还会给我们带来其它的等角。
定理：若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，则∠1=∠2。
图6
证明：由于∠BFH=∠BDH=90°，因此B、F、H、D四点共圆，因此∠1=180°–∠FHD=∠2。
这将给我们带来了下面这个非常漂亮的推论：
推论：把△ABC的垂心H沿BC边翻折到H'，则H'在△ABC的外接圆上。
图7
证明：由于H和H'沿BC轴对称，因此∠H'=∠1。而前面已经证明过了，∠1=∠2。因此，∠H'=∠2。而∠H'和∠2都是AC所对的角，它们相等就意味着A、C、H'、B是四点共圆的。
换一种描述方法，这个结论还可以便得更酷：
推论：把△ABC的垂心H沿三边分别翻折到H1、H2、H3，则A、B、C、H1、H2、H3六点共圆。
图8
证明：这可以直接由前面的结论得到。
另一个更加对称美观的结论如下：
推论：若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，H是垂心，则AH·DH=BH·EH=CH·FH。
图9
证明：做出△ABC的外接圆，然后延长HD、HE、HF，它们与外接圆的交点分别记作H1、H2、H3。前面的结论告诉我们，HH1=2HD，HH2=2HE，HH3=2HF。而相交弦定理（或者圆幂定理，可以用相似迅速得证）告诉我们，AH·HH1=BH·HH2=CH·HH3。各等量同时除以2，就有AH·DH=BH·EH=CH·FH。
让我们再来看一个与外接圆有关的定理：
定理：若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，H是垂心。过C作BC的垂线，与△ABC的外接圆交于点G。则CG=AH。
图10
证明：我们将证明四边形AHCG的两组对边分别平行，从而说明它是一个平行四边形。注意到CG和AD都垂直于BC，因此CG和AD是平行的。由于∠BCG是直角，这说明BG是圆的直径，也就说明∠BAG也是直角，即GA垂直于AB。而CF也垂直于AB，所以AG与CF平行。因而四边形AHCG是平行四边形，CG=AH。
它也能带来一个更帅的推论：
推论：若H是△ABC的垂心，O是△ABC的外心，则O到BC的垂线段OM与AH平行，并且是AH长度的一半。
图11
证明：前面我们证明了，上图中的CG与AH平行且相等。注意到BG是外接圆的直径，BG的中点就是圆心，也就是△ABC的外心O。垂线段OM是△BCG的中位线，它平行且等于CG的一半，从而也就平行且等于AH的一半。
好了，下面大家将会看到的就是初等几何的瑰宝：
推论：三角形的垂心、重心和外心共线，且重心在垂心和外心连线的三等分点处。
图12
证明：把AM和HO的交点记作X。刚才我们已经证明了，AH与OM平行，且长度之比为2:1。因此，△AHX和△MOX相似，相似比为2:1。由此可知，HX:XO=2:1，即X在线段HO的三等分点处。另外，AX:XM=2:1，也就是说X在三角形中线AM的2:1处。这说明，X正是三角形的重心。
任意给定一个三角形，它的垂心、重心和外心三点共线，且重心将垂心和外心的连线分成1:2两段。这个美妙的结论是大数学家Euler在1765年时发现的，它是众多“Euler定理”的其中之一。
说到Euler定理，九点圆是不能不提的，不过由于篇幅有限，也就到这儿为止了。垂心的性质还有很多，很难在一篇文章里把它们讲完。而且，这还仅仅是与垂心相关的定理，三角形中的心还有很多很多。1994年，美国数学教授Clark Kimberling开始收集历史上被数学家们研究过的三角形的心，并建立了“三角形中心百科全书”的网站。这个网站记录了几乎所有目前已知的三角形的心。在这部百科全书里，每个三角形的心都有一个编号，编号为n的心就用符号X(n)来表示，其中X(1)到X(8)分别为内心、重心、外心、垂心、九点圆圆心、类似重心、Gergonne点和Nagel点。不但每个心都有自己独特的几何性质，各个心之间还有大量共线、共圆的关系。这个网站的地址是：
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html。
目前，整个网站已经收集了3000多个三角形的心，且这个数目还在不断增加。
声明：文章转自Matrix67博客，版权归原作者所有，转载仅供学习使用，不用于任何商业用途，如有侵权请联系删除，谢谢。
