摘要：大家一提到数学，是不是想到的就是无法理解的公式，还有永远也算不出来的x和α呢？其实数学也有其柔美华丽的一面！
一、分形
不规则几何元素fractal，是由IBM研究室的数学家曼德布洛特提出。1967年，他在《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文，他在这篇文章中把那些部分与整体以某种方式相似的形状称为分形(fractal)。分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响。分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。即使不懂得其中深奥的数学哲理，也会为之感慨！
图1
1. 著名的分形——朱丽亚集(Julia set)
这是最著名的分形——朱丽亚集的一个版本。朱丽亚集是由法国数学家加斯顿·朱丽亚(Gaston Julia)和皮埃尔·费顿(Pierre Faton)在发展了复变函数迭代的基础理论后获得的，是一个典型的分形。
图2
2. 分形的泡泡
理查德·泰勒(Richard Taylor)致力于发现这种分形。他在悉尼的一个池塘边拍到这张照片，这个泡泡有1.3个分形维数。
图3
3. 分形的花椰菜
约翰·奥斯特洛维克(John Ostrowick)响应在生活中去找自然数学之美实例的提议，他说罗马花椰菜就是例子。这张图片是乔恩·苏利文(Jon Sullivan)拍摄的。
图4
4. 双螺旋线
保罗·尼兰德尔(Paul Nylander)保存了一系列数学之美图片。
图5
5. 太空中的螺旋形
自然界中常见螺旋图样，其中最吸引人的莫过于螺旋星云。
图6
6. 莫比乌斯三叶形谜题
图7
7. 莫比乌斯蛋白质
高密度脂蛋白(HDL)的重要组成部分阿朴脂蛋白是由一个最大尺寸为12.5纳米的螺旋结构扭结而成。华盛顿大学的麦克·迪卡(Mike Tyka)是一位蛋白质折叠专家，他保存了很多这类图片。
图8
8. 极小曲面(Minimal surface)
简而言之，极小曲面就是平均曲率为零的曲面。给定一条闭曲线，可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中，有一个面积最小者，这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面，除平面外，旋转极小曲面都是悬链面，直纹极小曲面都是正螺面。
图9：Richmond的极小曲面（作者Paul Nylander）
螺旋面(Gyroid)是典型的三重周期极小曲面，由Alan Schoen于1970年发现，它可近似定义为一个简单的等曲面方程cos(x)sin(y)+cos(y)sin(z)+cos(z)sin(x) = 0。
图10：螺旋面
9. 超复数分形(hypercomplex fractals)
超复数类似于通常的二维复数，只不过它们扩充到三维空间甚至更高维空间。超复数分形就是n=3维的分形，想必高维分形的神奇更令人惊叹吧。
这个超复数分形基于Daniel White富有创造性的三维超复数（三重）公式，通过在球坐标系内作两次连续旋转而成，生成的图像如星云一般。
图11
图中所示分形是一个三维的Julia集，根据Daniel White的四维超复数开平方。
图12
彩色的四维Julia集，即四元数分形。
图13
采用逆Julia集方法。Dominic Rochon采用寻找二重复数的平方根公式帮助作者绘制该图，该公式有四个根，所以在每次迭代后，点总数增加了四倍。
图14
10. 克莱因群
一个异彩纷呈的多元宇宙大花园。
图15：克莱因1/15双尖群分形
图16：克莱因1/15双尖群逆分形
图17：克莱因拟福克斯极限集
二、自然分形
凡是在自然界中客观存在的或经过抽象而得到的具有自相似性的几何形体（对象），都称为自然分形。它涉及的范围极为广泛，内容极其丰富。从自然科学基础理论到技术科学、应用技术的研究对象，都存在着自然分形。例如，海岸线、云彩、闪电、地震等众多现象中的部分毫无例外地与整体相似。由此，还可从中再细分出几何分形、功能分形、信息分形、能量分形等。
三、几何分形
在形态和结构上存在着自相似性的几何形体，就是几何分形。诸如线状分形(科契曲线)、表面分形(谢宾斯基地毯)、体积分形(谢宾斯基海绵)，它们分别与一维、二维、三维相对应，其中包括有规分形和无规分形。
四、功能分形
在功能上存在着自相似性的几何形体，就是功能分形。在信息上存在着自相似性的几何形体，就是信息分形。一个胡萝卜的根细胞可以培养成一棵完整的胡萝卜植株，健康人的一个受精卵可以在母体中发育成一个人，这些都是人们熟知的事实。从信息上看，细胞就是一个分形体，它包含着整体的全部信息。从功能和信息上看，中医讲的穴位群，就是人体的缩影。所以， 生物形体和人体病理，无不显示出分形现象，并由此产生了分形生物学的新学科，也为揭示传统医学的神秘色彩提供了新的解释。
五、能量分形
在能量传播上存在着自相似性的体系，就是能量分形。这种分形主要表现在地震时地震波的传播，无线电通讯中电波的传播。 在自然分形中，谈论得较多的还有递归分形、多重分形、自仿射分形、自反演分形、“胖”分形等新概念，它们表征了自然界中不规则形体的非线性特征，颇具生命力和应用价值。
所以数学之美不仅仅在于书本上的理论知识，也在于我们有一颗发现美的眼睛！
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