线性变换是线性空间中的运动，而矩阵就是用来描述这种变换的工具。这样说还是没有直观印象，所以还是直接看图解的动画吧。
矩阵不仅仅只是数值的表：
其实表示了在该矩阵的作用下，线性空间是怎样的变化，观察下图二维平面中水平和垂直方向的伸缩：
图1
可以看到：
● 垂直方向并没有发生任何变换（A 的第二列没有变化）；
● 水平方向伸展了2倍；
● 浅红色方格在变换后面积变成了原来的2倍，这里其实就是行列式的意义——面积的扩张倍率 Det(A)=2。
再看到更多矩阵变换之前，先停下来看看这个例子：
图2
变换前矩阵的基底向量i (1,0)移动到了(2,0)的位置，而j基底向量(0,1)还是(0,1)没发生任何变换（移动）——也就是基底的变化：
图3
一旦明白了基底的变化，那么整个线性变换也就清楚了——因为所有向量的变化都可以由改变后的基向量线性表出。观察下面向量(1, 1.5)和(-1, -3)变换后的位置：
图4
向量(1, 1.5)在变换后的位置，其实就是变换后基向量的线性表示，也可以看到矩阵的乘法是如何计算的：
图5
类似对于(-1, -3)变换后的位置，也是一样的计算方法：
图6
可以再次观察上图来体会，验证算出的结果。
下面再看其他的变换矩阵，这里矩阵A的对角线中有0元素：
图7
可以看到：
● 水平方向变为0倍；
● 垂直方向被拉伸为2倍；
● 面积的变化率为0倍，也就是Det(A) = 0；
基底的变化如下：
图8
再看看下面矩阵A的变换：
图9
可以看到：
● 整个空间向左倾斜转动；
● 面积放大为原来的Det(A) = 3.5倍；
上面在3个不同的矩阵作用下（相乘），整个空间发生不同的变换，但是原点没有改变，且直线依然还是直线，平行的依然保持平行，这就是线性变换的本质。
类似，在三维线性空间内，矩阵也用于这样的线性变换，需要注意的是这里行列式可以看成经过变换后体积变化的倍率。观察下图，经过下面矩阵A的变换中，空间会经过镜像翻转变换（扁平化为线）， 所以行列式的值会是负数。
图10
上面就是本次图解到了一些线性代数知识点。好了，现在让我们在下一篇的中再见！
因为本人水平有限，疏忽错误在所难免，希望各位老师和朋友多提宝贵意见，帮助我改进这个系列，感谢感谢啦！
声明：文章转自【遇见数学】微信公众号，版权归原作者所有，转载仅供学习使用，不用于任何商业用途，如有侵权请联系删除，谢谢。
