这次我们主要做一个回顾，再进一步将行列式的几何意义用动画展示说明。我们说矩阵A可以视为一种线性变换，所以
上面的式子意味着求一个向量x在线性变换A后的位置与向量v重合。现在看个例子，整个空间在矩阵A的作用下是怎样的变化过程：
图1
● 原来向量(1, 0.5)在经过变换后是(2, 1.5)；
● 水平方向变成了原来的2倍；
● 纵向变成了原来的3倍；
● 原来的直线变换后依然还是直线，平行的依然保持平行；
● 原点没有改变（如果没有原点，则为仿射空间）
并且注意红色的方块面积扩大了6倍，这样的面积（或体积）增大倍率就是行列式(Determinant)的几何意义，记作：det(A)或者|A|。
再看另一个作用矩阵线性变换的动画：
图2
观察看到：
● 空间发生了倾斜，但没有扭曲；
● 直线依然还是直线，平行的依然保持平行；
● A的第一列(1.5, -1)的落脚点为(1, 0) -像，第二列(-0.5, 2)的落脚点为(0, 1)；
● 单位红色小方块扩大为2.5倍，也就是det(A) = 2.5。
再来看这个线性变换的例子，注意矩阵A中两个列向量是成比例的——线性相关：
图3
观察得到：
● 空间被压缩成一条线；
● 向量(1, 0.5)在整个变换过程中完全没有发生改变（这跟特征值与特征向量有关，我们后文书再说）；
● 面积增大倍率为0，也就是det(A)=0；
这跟上一节中矩阵对角线含有0元素情况类似，在这种情况下意味着不存在逆矩阵，不过也是以后要介绍的内容了。
行列式的几何意义表示面积（体积）的增大倍率，如在经过镜像翻转后就为负值，上一节我们看到三维矩阵的情况，现在看一看二维中经过镜像翻转后行列式的变化，请注意最下变换过程中det(A)值从正数到负数的变化过程：
图4
上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点。好了，现在让我们在下一篇的中再见！
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