矩阵向量的乘积可以理解为将一个特定的线性变换作用在向量上，本次我们先看几个特殊的矩阵下的变换以及矩阵矩阵的乘积。
一、零矩阵
即所有元素都是0的矩阵，记为O。可以用下标来表示矩阵的大小：
图1
零矩阵表示的变换是将空间压缩到原点，可以观察在2阶零矩阵的作用下，空间被压缩到原点的变化过程，注意行列式的值最后为0：
图2
二、单位矩阵
是对角元素为1，其余都是0，记为I。
图3
单位矩阵对空间什么都不改变，保持基向量不变，也被称为“恒等变换”，可以看下面对应的空间变化过程（尽管没有改变）：
图4
三、对角矩阵
除了对角元之外所有元素均为0的矩阵称之为对角矩阵。
图5
对角矩阵表示的沿着坐标轴伸缩变换，其中对角元素就是各轴伸缩的倍率，并且下例矩阵A的对角元素中含有2个负数，可以看做经过了2次镜像翻转，x,y两个方向先是压缩，然后再被拉伸，面积扩大为原来的6倍，这样行列式的值为6。
图6
上面都是进行一次变换的操作，如果想要再进行一次（甚至更多）变换，就要矩阵和矩阵相乘了。譬如下面矩阵A相当于将空间旋转，矩阵B是横向拉伸。
图7
如果是BA两个矩阵相乘的运算，就相当于先旋转再拉伸，这样的复合变换运算顺序是从右往左进行，可以观察下面的动画：
图8
如果是AB两个矩阵相乘的运算，就相当于先拉伸后旋转，运算顺序是从右往左，可以观察下面的动画：
图9
从上面两个变换动画，可以得出结论矩阵的乘积不满足交换律（可以想象满足结合律）：
图10
可以计算出BA和AB的值：
图11
如何计算矩阵的乘积，除了课本上给出的方法，还可以按照列的线性表出来进行，以BA为例：
图12
另外，如果两个矩阵都不是零矩阵，但是矩阵的乘积可能会是零矩阵，比如在下面两个矩阵：
图13
空间中，A做横向压缩，B做垂直压缩，经过A然后B的变换后，也会映射到原点。
上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点。好了，现在让我们在下一篇的中再见！
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