我们来做一个简短的回顾。
矩阵乘法可以理解为一个特定的线性变换，矩阵的列向量相当基向量i: (1,0)和j: (0,1)经过变换过后的到达向量。
图1
空间变换后的任何向量都可以由矩阵A的列向量线性表出，而这些所有可能的结果，也就是矩阵的列所张成的列空间(Column Space)。
原先的空间经过这样2x2矩阵A线性变换后的空间可能会三种情况：
● 还是平面——仍是二维空间；
● 被压缩为一条线——变成了一维；
● 被压缩到原点——零维。
在数学专业的词汇来表示线性变换后空间的维数，称之为矩阵的秩( Rank )。换句话说，列空间就是矩阵的列所张成的空间。所以矩阵秩的另一种定义可以说是列空间的维数。经过变换后被压缩到原点的向量集合，称为矩阵A的“零空间”(Null Space)或“核”(Kernel)，记为Null(A)或Ker(A)。
对照上面的三种情况，来分别来观察。
一、变换后仍是平面
图2
观察要点：
如果经过矩阵A变换后的结果是一个平面，则rank( ) = 2，空间没有被压缩扁平化，因此可逆，称之为非奇异矩阵；
● 这样秩与列数相等，称之为满秩(Full Rank)矩阵。
● 对于满秩矩阵来说，变换后唯一落在原点的就是零向量本身，也就是dim Ker( ) = 0。
二、变换后被压缩为一条直线
图3
● 当变换的结果是一条直线，该矩阵是一维的，称rank(A) = 1，此时矩阵不可逆，称为奇异矩阵；
● 这样非满秩矩阵，会将空间压缩到更低的一维直线上，也就是由嫩绿色直线上一系列的向量在变换后成为零向量；
● 零空间的维度为1，dim Ker(A) = 1。
三、变换压缩到原点
图4
● 当变换的结果是压缩到原点，则该矩阵是零维的，称rank(A) = 0；
● 而零空间维度为2，dim Ker(A) = 2。
四、维数定理
假设A是mxn矩阵（非方阵的情况，下次会介绍），维数定理就是：
dim Ker(A)+rank(A)=n
相信如果理解透彻2x2矩阵的情况，那更高维的矩阵也就清楚了。
上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点。好了，现在让我们在下一篇的中再见！
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