矩阵乘法可以理解为一个特定的线性变换，比如在2x2的可逆矩阵表示就是二维空间的（可逆）变换；3x3的可逆矩阵表示三维空间的变换。
这些都是nxn型的矩阵，本节来看看更一般mxn矩阵，也就是非方阵的情况——分两大类：行数小于列数的“矮矩阵”和行数大于列数的“长矩阵”。
一、矮矩阵
所谓“矮矩阵”就是mxn矩阵A的维数m < n的情况：
从方程组来说，就是未知量为n，而方程个数m。
图1
以上面2x3矩阵而言，就是未知量x从三维空间被压缩到二维平面的线性变换，也就是说存在了压缩扁平化的操作，观察下图：
图2
观察要点：
● 三维空间被压缩为平面；
● 属于零空间的向量集合被压缩到零向量，可以认为在变换过程中丢失了一部分信息；
● 三维空间的基底在变换后落在平面上，并且坐标分别为(3,1)，(1,5)，(4,9)。
这样矩阵压缩的行为，当然可以从二维平面到一维直线，如看下图的变换矩阵(1,1)的作用下，线性空间是怎样的变化过程：
图3
观察要点：
● 属于零空间的向量集合被压缩到零向量；
● 二维空间的基底在变换后落在数轴上（直线）上，并且变换后坐标分别为1和2；
类似这样对空间压缩的操作经常被用于对数据的压缩，比如原始数据维数太大，就需要找到某种变换将原始高维属性空间降为更低维的空间，未来再主成分分析PCA时候，我们再来更详细的图形展示。
二、长矩阵
反过来考虑当矩阵A维数m > n的长矩阵：
这样未知数要比方程数少的情况，对应的是变换会从低维到高维空间进行的。比如下面矩阵就是从二维变换到三维空间的映射：
图4
类似，如果从一维到三维空间的变换矩阵也一定属于长矩阵形状的。
无论是矮矩阵，还是长矩阵，这样的非方阵和方阵的一个明显不同是，对于方阵我们可以计算它的行列式，如果不是方阵的话，就不行列式这个概念了。
图5
注：
[1] 部分截图出自3Blue1Brown的《线性代数的本质》视频；
[2] 视频可以从YouTube和B站搜索3Blue1Brown在线观看，或者在【遇见数学】公众号号后台，分别输入关键字【高等数学】和【线性代数】直接得到下载地址。
上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点。好了，现在让我们在下一篇的中再见！
因为本人水平有限，疏忽错误在所难免，还请各位老师和朋友多提宝贵意见，帮助我改进这个系列，您的关注和转发就是鼓励我继续前行的最大动力，感谢感谢！
声明：文章转自【遇见数学】微信公众号，版权归原作者所有，转载仅供学习使用，不用于任何商业用途，如有侵权请联系删除，谢谢。
