“特征”一词译自德语的eigen，意味着“自身的”，“有特征的”——这强调了特征值对于定义特定的线性变换上是很重要的。
一、特征值 / 特征向量
我们来观察在矩阵A的作用下空间发生的线性变换，注意下图中红色向量和绿色向量的变化：
图1
观察要点：
● 空间发生了倾斜，但（黑色虚线）直线还是直线，依然保持平行（线性性质）；
● 变换过程中发生了镜像翻转，所以行列式为负值-2；
● 基向量i变换到(-2,-2)处，基向量j变换到(2,3)处；
● 红绿两个向量都随之发生了旋转。
是不是空间中所有的向量都会进行旋转呢？还是这个矩阵变换为例，再来观察下面这3个向量。
图2
观察要点：
● 红绿3个向量的长度发生了伸缩变换，但仍在原来的直线方向上，并未发生旋转；
● 两条直线上的任何其他向量都只是被拉伸为原来的2倍和-1倍，如红色两个向量都伸长为2倍；
● 除了这两条直线外，空间中的其他向量在变换过程中都有旋转（见上图）。
这里只有长度伸缩起了变化，而方向仍在原直线上的向量就是矩阵A的特征向量(Eigenvectors)。伸缩的倍数，就是特征值(Eigenvalues)，红色向量(1,2)伸长了2倍，特征值为2；绿色向量(2,1)伸缩倍率为-1，相应特征值为-1。
一般而言，对于nxn方阵A ，当存在向量v不是零向量，且满足
图3
等号左边是矩阵向量的乘积，而右边是数乘向量。
图4
二、特征值的计算
如何求解出特征值呢，考虑将上面等式右边项移项：
图5
我们知道只有当(A-λ I)这个矩阵所代表的变换是压缩扁平化操作的时候才会将向量v压缩至原点处，而压缩扁平化的矩阵的行列式应该等于0，这样只需要求解出相应的特征方程即可得到λ的结果。
图6
一旦求出了矩阵的特征值，之后要做的就是带入定义式子，求出满足定义的特征向量了。
注：
[1] 部分截图出自3Blue1Brown的《线性代数的本质》视频；
[2] 视频可以从YouTube或B站搜索3Blue1Brown在线观看，或者在【遇见数学】公众号号后台，分别输入关键字【高等数学】和【线性代数】直接得到下载地址。
上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点。好了，现在让我们在下一篇的中再见！
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