第一类曲面积分（对面积的曲面积分）的物理意义就是对于密度分布不均匀的曲面要计算其质量。
一、面积分的定义
第一类曲面积分所采用的方法还是分割取近似，作和求极限。
就是用很小一块面积dS乘以相应的密度函数f(x,y,z)，再将曲面S区域上各个小块的质量累加起来，得到曲面总质量。下面的积分式描述了上面的概念：
二、面积分的计算公式
但是实际上直接利用定义公式计算会很困难，所以做法就是将曲面的面积利用投影的方式转成平面上，再求其积分。回忆【投影的应用】的求椭圆面积的公式：
图1
第一类曲面积分具体做法就是在对于一小块曲面面积dS不方便计算的时候，将曲面投影下来到xoy平面上去计算dxdy面积。利用投影的思想在投影面R来积分。在看具体计算推导之前先来看动画演示：
图2
我们知道dS小块曲面面积与投影面积的关系式如下：
若z = g(x,y)，曲面投影到xoy的R区域，则计算公式可得：
那现在问题是如何求θ呢？它其实就是当前曲面（法线，即梯度向量n）与z轴（向量k）的夹角。
这样把曲面上的面积分转成平面上的面积分，最终公式如下：
上面就是制作的图解高等数学第一类曲面积分例子。好了，现在让我们在下一篇的中来看一看其他高数相关概念的动图。
因为本人水平有限，疏忽错误在所难免，所以还请各位老师和朋友不吝赐教，多提宝贵意见，帮助我改进这个系列。感谢关注！Thanks!
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