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视频1
本集的目标很简单，解释导数的意义，另外还有第二个目标，认识到其中的矛盾是什么，并学会如何避开它们。
说起导数，很多人通常会这么表述：“导数测量的是瞬时变化率”。然而你仔细想想的话，这个说法其实自带矛盾。在不同时间点上才会发生变化，而当你把自己限制在一个瞬间点的时候，也就不会没有变化的余地了。
这句话我们讲到后面你就会理解更深，等你意识到诸如“瞬时变化率”的说法是多么不合理，你就能体会到微积分创始的数学家们的智慧。他们在表达这些说法的真正意义之时，引入了一个精妙的数学定义 ——导数。
图1
作为一个贯穿本集的示例，想象一辆车从A点起，先加速，再减速，直至在100米外的B点停下来，整个过程花费10秒。
我们可以把这个运动用图表示出来，竖轴代表运动的距离，横轴则代表时间，在横轴的任意时间点t，图像的高度就告诉我们，汽车在经过t时间后行驶了多远。把这样描述距离的函数称作s(t)关于t的s函数。
图2
一开始这个曲线很平缓，因为车刚开始发动速度很慢，第1秒之内，车没怎么移动，而在接下里的几秒中，汽车开始加速，这对应的图像中越来越陡的曲线，而车最后慢下来的时候，图像曲线又变得平缓了。
图3
我们把车的速度(m/s)作为时间的函数画出来的话，就像这个小山包一样。爱运动。刚开始的时候速度很小，位于过程正中的时候，汽车也达到了最高速度。每秒移动的距离最大，然后车渐渐慢了下来，直到最后完全停止。
那两条曲线之间肯定有什么关联，改变了距离—时间的函数，也会同时改变速度—时间的函数。我们正是要学习理解这种关系的特质。速度的大小到底是如何随着距离—时间函数的变化而变化。
请思考，速度究竟代表着什么？直接上大家都了解汽车某一时刻的速度，不是仪表盘上车速表显示的那个数字。直觉也告诉我们，当速度越大的时候，在距离函数上曲线上就应当更陡峭。因为此时汽车在单位时间内移动的距离更长。
但是我们仔细考虑的话，讲一个瞬时的速度其实没有一点意义。比如我们看一辆行驶中的汽车照片，你肯定回答不出来，它是跑得有多快。因为你需要拿出两个时间点来做比较，那样你才能将距离改变的量除以时间变化量。
图4
嗯，这才是速度的含义，也就是说单位时间内运动的距离。那么现在再回过头来看这个速度函数，它只需要一个t值——一个孤零零的瞬间。但是计算速度就需要比较两个时间点上的距离。
图5
是不是感到有点矛盾，那就对了。当年微积分的创始人也和你有着同样的思维冲突。如果你想进一步理解变化率的意义，理解如何将它应用于各种开车，或者其他科学场景，就需要解决这一矛盾。
我们最好先讨论现实世界的问题，然后再讨论纯数学的情况。试想下车速表到底是如何显示车速的。嗯，在某个时间，比如车运动了3秒之后，车速表就可能会测量，汽车在很小的一段时间内走了多远，比如在3秒和3.01秒之内，所行驶的距离。那就可以计算车速的值。
图6
所以说，现实中的汽车用了这么一个方法就能绕开瞬时速度这一矛盾。它并不会计算单个时间点上的速度，而是去计算非常微小的一段时间内的速度。
图7
我们把这个微小的时间间隔叫做dt，可以想成之前说的0.01秒，在把这段时间差内的运动的距离差叫ds，那么任意时间点的速度就可以用ds/dt表示，即一小段距离差除以一小段时间差。
图8
我们来放大t= 30时，距离—时间的函数图像，dt是这一点向右一点点。因为时间是横轴，纵轴代表车移动的距离，ds则表示dt这段时间内图像高度的变化。
所以ds/dt就可以当成函数图像上很接近的两点，随“前进上升”所连成直线的斜率。t是任何值都无所谓，我们指定一个t，它就可以给我们返回一个关于这一点的比值。我们就是把速度看作一个关于时间的函数。
图9
首先，选dt为一个很小的值0.01，接着从0到10之间，按此间隔为步长，计算这函数在t+dt时的值，减去它在t时的值，也就是计算时间t和再经过0.01秒之后的距离差，然后把这距离差除以时间的变化量dt，最后就得到里在每个t点时的速度。
用以上的共识，电脑只要知道里表示距离的函数图s(t)，它就能绘制出表示速度v(t)的函数图形了。
ds/dt就是函数s的微小变化量除以t的微小变化量，不过距离求导的真正含义还差那么一点点。在纯数学领域，导数并不是dt为某个具体值时，ds和dt的比值，而是dt值无限逼近0时，这个比值的极限。
幸好，从图像的角度，求这个比值无限逼近于多少有个很精妙的意义。如果我们随便选择一个具体的dt，那么ds/dt就是穿过图像上两点的直线的斜率。
现在dt越来越接近0，这两点也越来越靠近，过两点直线的割线，也就越来越逼近在t点时图像切线的斜率。可以查看下面的动画。
图10
所以，纯数学上导数并不是沿图像两点间直线的斜率，而是经过图像上某一点的切线的斜率。
记得，这个dt不是“无穷小”，更不是把0带入dt就可以求导量，这个dt永远都是一个有限小的量，非常非常接近于0。
所以尽管说瞬间的变化没有任何意义，单可以让dt非常非常的接近0，用这个狡猾的小技巧，就可以让时间点的变化率变得有意义了，这是不是很巧妙呢！
我们不用触及瞬时变化的矛盾就可以绕开它了，而且这个技巧还有个直观的表现方法，即函数曲线上过某一点切线的斜率。
因为瞬时的变化没有意义，所以你最好也别把切线看作求什么某一点瞬时的变化率，而是要把它看作求某一点附近的变化率的最佳近似。
图11
按照微积分的传统，只要你用了符号d，就等于表明，你想要就当dt逼近0的结果。
图12
那就好比单纯解一个数学题，我们对函数s(t)求导，用的符号就写作ds/dt，但我们求的导数本质上并不是一个分数，而是求当t的变化量越来越小时候，这个分数（比值）的极限。
这里，我们举个具体的例子来方便理解，当dt越来越小时候，求ds/dt会变得愈加困难，但其实反而变得越加简单。我们假设距离时间函数就为 s=t3。
我们要求在时间点t=2时的速度ds/dt，暂时先把dt当做有实际大小的变化量，过会再把它逼近为0。第2秒和第dt+2秒之间的距离差，就是s(2+dt)-s(2)。由于 t3，分子就变成了下面图中结果，然后展开。
图13
分子分母化简后到下面的结果。
图14
那么，当dt逼近0时候，而是我们的时间差越来越小，后面的这两项就能完全忽略掉。最后又得到了一个非常简洁的 3(2)2。表示t=2时，函数切线的斜率就是12。
用一般的情况，我们可以说函数 t3 的导数，又是一个关于t的导函数 3t2。求导本来是一个很复杂的过程，我们要计算微小时间差内的微小距离的变化，让我们不看时间差具体有多少，又要让时间差趋近于0。想想就头大，但是我们最后却得到了一个很简洁的式子 3t2。
图15
实际求导操作中，你不必每次都这么推一遍，t3 的导函数就是 3t2，嗯，就是让我们学了微积分，之后大家立刻就来知道的事情，不用每次都从头推导。
而现在，要把整个推导过程给演示出来，就为了要让你体会，考虑一个具体的dt时间差内的距离变化量时候，需要做一系列的计算。而当，你考虑让dt逼近0时候，你就可以跳过麻烦的步骤，问题也确实变得简单了。这也正是微积分实用性的精华所在。
图16
另外，我们考虑如何解开瞬时变化率所带来的矛盾和困惑，还是以距离—时间 s=t3 的函数来说。考虑在t=0，开始车的情况，一方面我们可以用到函数 3t2 得出速度为0。那么这辆车此时的瞬时速度为0，明显表示没有在移动。
但另一方面，如果汽车在0秒时没有开始移动，那它是什么时候开始动的呢？
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发现矛盾量吧。关键在于，这个问题是没有意义的，问题是基于一个不存在的概念瞬时变化，而且导数根本就不是来测量瞬时变化的。
距离—时间函数的导数在0秒时等于0的真正含义是指在第0秒附近车速的最佳近似是均速0 m/s。
比如在一段具体的时间差内，t=0和t=0.1秒之间，车确确实实在移动，移动量0.0001米，就这么一点点距离，平均速度只有0.01 m/s。
这里导数等于0的意思是，当时就的间隔变得越来越小时，这个表示速度的比值就越趋近于0，而这不表示此时车就是静止的，只是说它此时的运动速度近似于均速的0。近似而已。
图17
总之，当你下次再听别人说导数测量的是瞬时变化率，这一自带矛盾的概念的时候，就请自动把它替换成变化率的最佳近似好了。
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