来自3Blue1Brown《微积分的本质》视频：https://space.bilibili.com/88461692
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视频1
这次我们来看看二阶导数，设函数为f(x)，那么导数可以理解为x点处所对应的图像的斜率。图像很陡对应导数的值很大，向下倾斜说明导数是负的。
而二阶导数是导数的导数，它表示斜率的变化情况。最直观的方法就是观察f(x)曲线的弯曲方向，让它向上弯曲，斜率在增加，这时二阶导数就是真的。
当它向下弯曲斜率再减少，二阶导数就是负的。
图1
比如这个函数在x=4时，它的二阶导数是一个很大的正值，因为此时函数的斜率在快速增加。而这个函数，在x=4的时候，他的二阶导数依然为正，但相对刚才a=5时就小了，因为它的斜率增加的很慢。在图像没有弯曲的地方，二阶导数就是0。
图2
这符号它倒是可以被写成这样：
图3
表示想求导数的微小变化除以x的微小变化，这表示要让这里的两个dx都趋近于0。嗯，或者是按标准写法把它缩写成：
图4
考虑怎样理解二阶导数符号的解读，考虑函数在x处，然后向右连续增加两个小的增量dx。这个重量使得函数增加了，第一个变化量我们把它叫做df1，第二个增量同理，但造成的变化量会些许不同，我们把它叫做df2。
图5
这两个变化量之间的差，也就是函数变化量的变化量就叫做d(df)。
你应该把d(df)当做一个非常微小的数，它和dx2成正比。所以如果你带入dx=0.01的话，那么d(df)就应该大约和0.0001成正比。
二阶导数就是变化量的变化量比上dx2，更准确的说是dx趋近于0的时候，这个比值的极限。
图6
尽管d并不是一个能和f直接相乘的变量，但是为了使记号更简单，写成下面的形式：
图7
实际问题中的加速度是帮助你理解二阶导数的最佳例子，假设物体沿直线运动，并且你有一个它的距离—时间函数，或许它的图像看起来就是像下面这样，随着时间的持续的增加。
它的导数就是每一时间点的速度，其实导数的图像就像是个小山包，先增加到一个最大值，然后减小到 0。
所以二阶导数能告诉你在某个时间点上速度的变化率，这就是加速度。
图8
在这个例子中，前半段路程二阶导数是正的，说明车在加速。后半段二阶导数是负的，说明的速度在减慢。
三阶导数就叫做急动度(Jerk)，如果急动度不为0，那么说明加速度本身在变化。
高阶导数最大的作用就是帮助我们得到函数的近似，这就是我们下集要讨论的泰勒级数。
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