一、从未开化到文明
有一位数学家接受手术。在开始手术前，外科医生让这位数学家闻麻醉药，并且叫他数1，2，3，…。这位数学家要是在平时，别说是1，2，3，…，就是极大或是极小的数也都能随心所欲地数出来，可是他却抵抗不住麻醉药，数1，2还可以，数到3就人事不知了。一滴氯仿就把数学家带回到只能数到3的未开化人的状态去了。
用一滴麻醉药，就能把数学家带回到未开化人的世界去，但是反过来，从未开化人变成数学家的道路可就漫长而又遥远了。不仅仅是漫长，那还是一条极其曲折的道路呢。为了看清数学这门学问的本来面目，我们有必要回到起始点，在这条曲折的道路上再走一遍。
精神病医生为了试验病人的神智是否清楚，好像就是让病人数数的。据说从前在泰国的法庭上也是让证人数到 10，如果数不上来，就没有资格作为一名证人。但如果根据这件事就想说“数学是智能的检验标准”的话，一定会有许多人瞪着眼反对。这是因为在这个世界上有许多人讨厌数学。
与喜欢数学的柏拉图不一样，讨厌数学的索克拉提斯说：“在数学家当中，没有人能够作认真的推论。”另外，还有很多人公然说数学这种东西是有害无益的。
可是，喜欢、讨厌姑且不说，既然生活在现代，没有数这个东西就不能生活下去。其实只要想一下在每天的报纸上出现多少数字就明白了。所以，即使是讨厌数学、对计算觉得棘手的人，实际上也是懂得相当多的数学、很会应用数学的人。站在未开化人当中，就是第一流的数学家了。
即使说数学不行或者讨厌数学，也并不意味着这个人的智能或人品不好。可是要在现代社会生活下去，不用说，会有很多不便之处。一看见数字就头痛的人，跟一坐车就晕车的人是一样的吧。
二、数的黎明
从前——距现在大约50万年，在现在北京郊外周口店的洞穴里，居住着人类的祖先北京猿人。从他们遗留下来的石器和动物的骨骼，可以大致知道他们从事什么样的劳动，吃什么样的食物。但是要推测他们懂什么数学就非常困难了。为什么呢？因为数这个东西是无形的，没有一种直接了解的线索。
但这并不是说就没有一种间接的线索，去了解人类在太古时期如何建立数字或图形的知识。这线索就是考察在文明进步中遗留下来的未开化人的数学，另外就是观察在幼儿当中，数的概念是怎样建立的。
首先产生的问题是，除了人类以外是否真有动物了解数？就像经济学家亚当·斯密说的那样：“数是人类在精神上制造出来的最抽象的概念。”确实，即使像1，2这样最简单的数，要是和其他语言相比较，也是很抽象的，除了人之外，其他动物好像还没有知道数的。
然而有人认为鸟知道数。例如，杜鹃悄悄把自己的蛋产到黄莺的巢里，让黄莺替它孵蛋，它会把和自己的蛋数相同的黄莺蛋去掉。从这个事实来看，人们自然会产生这样的疑问：鸟不是会数数吗？德国的动物学家奥·凯拉作了鸟能数到什么程度的试验。但是以往这种试验，由于准备不充分，结果难以信赖。从前也曾有过这样奇怪的事情——马戏团的马因为会计算而闻名，可仔细研究一下就知道，是马的主人在不知不觉中送出一个什么信号，然后敏感的马回应了这个信号。
凯拉为了防止一些杂音混进来，小鸟放到一个院子里，让小鸟和实验者彼此都看不见，小鸟的动作用照相机自动拍下来。
实验对象就是乌鸦和鹦鹉。在鸟的前面放五个箱子（见图1），箱子盖上画着标记点，分别是2，3，4，5，6。箱子前面也放着画有标记点的盖子。预先让鸟作挑出与盖子上标记点相同的箱子的练习。经过充分练习之后，再让鸟作挑出同样数目的试验时，鸟能够出色地取得成功。而且即使把五个箱子的排列方法作各种变化或改变标记点的画法，也不会失败。
图1
图1上面的试验是让鸟同时认标记点的个数。接着又作了按时间顺序数数的试验，先让乌鸦作这个练习，就是从许多食饵中按特定的数，例如取5个食饵来吃。取食的时候，摆好几个内部装有食饵的小箱，而顺序放入这些小箱里的食饵的数量是1，2，1，0，1，…。这个试验就是把箱子打开，让鸟只吃5个食饵。当吃的食饵少于5个时，就必定让乌鸦回笼子去。
这样一来，就会有惊人的事情发生。当鸟吃完装有一个食饵的第1箱以后，它就点一下头（见图2），吃完装有两个食饵的第2箱以后就点两下头，第3箱吃完点一下头，对空着的第4箱就不闻不问地跳过去，到吃完第5箱之后又点一下头，然后，据说脸上好像是“我吃完了”的样子，对第6箱不予理睬就离开了。
图2
图2点头的次数就是箱子里的食饵数，也许这是乌鸦预先记住食饵的数目，知道是不是够数吧。从这样的试验来看，会数数的不仅是人呢。我们人类的优越感就只好化为乌有了。
但是只凭这一点就断定鸟类知道数似乎还早了一些。为什么呢？这是因为要说知道数，必须有几个条件。我们看看这些条件吧。
三、一一对应
英国的数理哲学家巴特兰多·拉赛尔说：“要觉察到两天的2和两只雉鸡的2是同样的2，需要有无限长的岁月。”确实像拉赛尔说的那样，2这个数对于两个鸡蛋、两条狗、两个人、两只鸟、两本书都是共同的，所以即使把两个鸡蛋换成两棵树，2还是有没有变化（见图3）。
图3
像这样把一个一个的鸡蛋和一棵一棵的树联系起来就叫做一一对应。但即使一一对应起来，2还是不变的。我们利用一一对应而数不变的这件事，就想出一种用容易数的东西来替换不容易数的东西。据说丰臣秀吉为了数山上的树木，就在每棵树上系一根绳头儿，然后再数这些绳头儿。这就是把树的集合以一一对应的方法转换为绳头儿的集合，然后再数。另外，根据一位旅行家的手记，说在马达加斯加岛，为了数有多少士兵，让每一名士兵走过队长面前时，投下一粒石子，然后数那堆石子。这也是因为士兵的集合与小石子的集合是一一对应的。寿司店在顾客每吃一个寿司饭团时，就在柜台上粘一个饭粒，以此来数吃过的寿司饭团数，这也是利用了一一对应而数不变的原则。
可是杜鹃知道这件事吗？它即使能找到与自己的蛋数相同的黄莺的蛋，那也是因为这两种蛋很相像吧。它似乎不会想到3个蛋与3棵树是同样的3。
图4
不仅是鸟，很小的孩子好像也不知道这事。瑞士的心理学家皮亚杰做了以下的实验。把几个花瓶和一些花给一个5岁零8个月的孩子，让他在每一个花瓶里插一枝花。接着再把花拢在一起，问他是花多还是花瓶多，孩子回答说是花瓶多，因为把花拢在一起，能看见的少了（见图4）。把花一枝一枝地插在花瓶里就是一一对应的事，可是这个孩子却想不到花瓶与花的数目是相等的。我们必须认为这个孩子对于一一对应而数不变的事还不明白。如果人在孩提时代还不懂数是一一对应而不变的话，那么鸟或者蜜蜂就更不懂了吧。
注：上文节选自《数学与生活》，已获图灵许可，【遇见数学】特此表示感谢！
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