用数学的语言看世界

赠给女儿的“私房”数学科普读本
本文选自《用数学的语言看世界》，该书为理论物理学家大栗博司先生写给自己女儿的数学读本，全书以用“数学语言”解读自然为线索，用生动故事和比喻重新讲解了数学的核心原理与体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”的思维方式，是数学入门，重新理解数学的科普佳作。
现在让我们数学的语言再来看待世界，首先在全球十大未破惊悚命案之一“辛普森杀妻案”中就会见到它的身影……

图1
辛普森审判与德肖维茨教授的辩护主张
人生在世，有时需要作出重大决定。学校的考试題目只有一个答案，但是在现实社会中却往往没有正确答案，而且现实社会也不一定会向你提供有助于解答问题的所有材料。
当我们必须要从不确定的信息中作出判断时，该如何是好呢？当我们获得新信息时，又该根据什么标准来更改自己的判断呢？现在，我来告诉你如何解决以上问題。
1994年，你还没有出生。那一年在美国洛杉矶发生了欧·杰·辛普森谋杀案，知名橄榄球运动员辛普森的前妻妮科尔·布朗及其友人罗纳德·古德曼被发现死于髙曼的寓所外，辛普森被怀疑是杀害两人的凶手。辛普森退役后以演员和喜剧演员的身份参加各类活动，并且深受人们喜爱。因此，这个案件在当时备受关注。来自美国各地的律师们组成了辛普森的辩护团，被人们称为“梦之队”。另一方面，检察院也召集了最精明能干的检察官。甚至电视上还直播了这场“世纪审判”的审判情况。
检察院提交了辛普森常年对布朗施暴的证据，试图用家庭暴力证明其有杀人嫌疑。然而，辩护团中的一名律师、哈佛大学法学院的艾伦·德肖维茨教授引用了美国联邦调查局的一个犯罪统计，即虐待妻子的2500名丈夫中只有1人杀害了自己的妻子，并且主张应该忽略家庭暴力这个证据。结果检察院无力反驳，最终无法让陪审员信服辛普森的施暴行为造成了杀人行为。但是，德肖维茨教授的主张纯属诡辩，完全可以用数学语言驳倒。
刑事审判追究的是有罪的“概率”，除非亲眼看见犯罪，否则就不能百分之百地断定有罪。检察院的工作就是要证明无罪的概率极小，法律术语叫作“排除合理怀疑，判定有罪”。至于多小的概率才能排除合理怀疑，这是一道数学无法判断的主观问题。法官和陪审员的职责正是对此作出判断。但是概率能用数字表达怀疑的程度，并通过这个数字来判断是否存在合理怀疑。这就是数学的力量。
用概率来讲，德肖维茨教授的主张是有家庭暴力的丈夫杀害妻子的概率是1/2500，因为这个概率极小，所以作为证据并无意义。法官和陪审员在作判断时，必须将所有相关信息考虑在内。实际上，德肖维茨教授忽略了一个重要的信息，即“妮科尔·布朗已经被杀害了”。如果把这个条件加进去的话，概率计算会出现完全不同的结果。第1章的目的之一就是解释以上概率问题（文末会看到数学上如何解释原因的）。
一、先来掷骰子：概率论的起源

图2
概率是一种用数字表示某种主张正确率的方法。例如掷骰子的时候，掷出1的概率是多少呢？骰子有6面，分别标有1到6，这6个数字。如果每一面都一样容易掷出的话，那么平均应该是6次里有1次会掷出1，即“掷出1的概率是1/6”。
不过，如果骰子特殊，也会出现容易掷出1的情况。这样一来，1/6的概率并不准确。只要通过反复实验，就能算出特殊骰子的概率。
假设掷1000次骰子，掷出1的次数是496次，那么得出的概率大于1/6。将两个概率相比，496/1000=0.496大于1/6≈0.167。
因为概率大于1/6，所以说明这颗骰子容易掷出1。除非骰子状态发生变化，否则再掷1000次骰子时掷出1的槪率并不会发生改变。但是掷骰子的方法偶尔不同，所以无法保证是否能刚好掷出496次1。因此0.496这个概率不是一个精确的数字。如果想要算出更加精确的概率，那么需要增加掷骰子的次数。掷骰子的次数越多，实验得出的概率就越趋向于固定值。这个数学定律就是著名的“大数定律”。

图3：以特定掷单个骰子的过程来展示大数定律。随着投掷次数的增加，所有点数趋于相等，且均值趋于3.5（骰子点数的期望值）
如上所述，计算概率的方法主要有两种，分别是：
【方法A】思考所有掷骰子的方法（从1到6)，假设掷出每个数字的概率相同，那么因为掷出的数字有6种可能性，所以概率为1/6。
【方法B】实际掷骰子，计算（掷出1的次数）/（实际掷骰子的次数）得出概率。
虽然方法B无法得到准确概率，但是多亏有大数定律，只要增加实验次数，概率就越接近于固定值（使用特殊骰子的话等于I/6）。另一方面，因为方法A中假设每个可能性发生的概率相同，所以在特殊骰子的情况下得出的概率并不准确。在后半部分，我将讲解如何在特殊骰子的情况下修正概率。
接下来我们来思考一下掷两个骰子时的情况。两个骰子都掷出1，即两个骰子同时掷出1的概率是多少呢？使用方法A时要思考所有可能性。每个骰子都有6个面，两个骰子掷出的数字组合方式一共有6X6=36种。如果这36种组合出现的概率相同，那么同时掷出1的概率是36次掷出1次，即1/36。1/36相当于1/6X1/6。也就是说，一个骰子掷出1的概率是1/6，另一个骰子掷出1的概率也是1/6，二者相乘便是两个骰子同时掷出1的概率。
两个事件同时发生的概率等于两个事件概率的乘积。虽然这是概率非常重要的性质，但并不是随时都能成立的。只有发生的两个事件相互独立时，才能运用上述性质。就当前情况而言，其中一个骰子掷出的数字不会影响另一个骰子掷出的结果。
二、赌博中的不败之法：学好概率论，赌场任我混？

图4
接下来我将运用“两个事件同时发生的概率等于两个事件槪率的乘积”的性质，来传授你赌博中的不败之法。
例如打赌猜测抛出的硬币是正面朝上还是背面朝上？如果不是特殊的硬币，正面朝上和背面朝上的概率均等于1/2。考虑到硬币存在特殊情况，那么将正面朝上的概率设为p，背面朝上的概率设为q。因为硬币只有正面和背面，所以两者的概率关系为p+q=1。
打赌的内容是正面朝上的话贏1日元，背面朝上则输1日元。连续抛两次硬币，两次都正面朝上的概率为pxp=p²。
打赌的内容是正面朝上的话贏1日元，背面朝上则输1日元。连续抛两次硬币，两次都正面朝上的概率为pxp=p²。重复抛硬币的动作，连续抛n次，n次都正面朝上的概率为pⁿ。因为p小于1，所以n越大，pⁿ的值就越小。按照一般常识，很少出现连贏几次的情况也是合情合理的。
假设刚开始时手上有m元，每次的赌注为1日元。赌博最重要的是把握脱身的好时机，赢的钱增多到N元时果断收手。要么开始赢钱时不要收手，直到赢得目标N元；要么就一直继续，直到输光。
将赢钱的概率记作P(m,N)。P是英语概率” Probability”的首字母，常用作表示概率。为了表示m元变成N元的概率，再在P补充写上(m,N)。这个概率大于1/2的话就有贏钱的希望，反之小于1/2的话最好还是尽早收手为好。概率的计算公式如下：

如上所述，我直接简要地导入了上述公式。该公式的解释过程有点复杂，因此我将在个人主页上加以补充。另一方面，将手头上的钱输光的概率等于1-P(m,N)。
不过，p=q=1/2 时，因为q/p=1，所以右边的分子和分母均变成0，那么0除以0就没有意义了。因此，出现这种情况时则采用以下计算方法，即

例如P(10,20)=1/2。此时拿10日元钱去赌博，所持金额翻倍的概率和输光破产的概率是五五开。
假设用于打赌的硬币与普通硬币稍微有点不同，p=0.47，q=0.53。如果使用上面的公式，P(10,20)≈0.23。换言之，所持金额翻倍的概率降低到23%，输光的概率升至77%。只要在硬币上稍微动个手脚，例如将容易抛到背面的概率增加3%，那么输光的概率就从50%增至77%。

图5
赌注越大，结局就越悲惨。例如想将50日元增加到100日元，P(50,100)约等于0.0025，即0.25%，这几乎没有赢的可能。
这也是赌场能盈利的原因所在。美式轮盘上有38个小方格，其中36个分别标有1~36，1~18是红色，19~36是黑色。如果仅有上述36个数字的话，转到红色和转到黑色的概率均为18/36=1/2。但是轮盘上另外还有标有0和00的小方格，一旦转到这两个小方格，钱归庄家所有。在这个情况下赌博，对玩家来说贏的概率为p=18/38≈0.47。
换句话说，这个原理与抛硬币时将容易抛到背面的几率增加3%相同，计算的结果与刚才完全相符。拿50日元去赌博，假设每次的赌注为1日元钱，如果想着要翻倍，最终99.75%的概率都会输光。
相反，怎样设赌注才能对赌博稍微更有利呢？假设p=0.53，q=0.47，使用公式P(m,N)，那么P(50,100)≈0.9975。p跟q的值与前面的情况相反，所持金额翻倍与输光的概率也正好相反。仅仅增加3%的有利条件，50日元翻倍成100日元的概率马上变成了99.75%。在这种情况下，除非运气特别差，否则谁都能贏。

图6
公式P(m,N)能教我们很多知识。首先要知道“即使是仅有轻微不利条件的赌博，也绝不能参加”。因为轻微不利条件也会让输光的概率大大地增加。所以，参加类似轮盘赌和老虎机这种庄家可以控制p的赌博，很容易输的。
反过来说，想要在赌博中赢，只要设法让p大于1/2即可。例如纸牌赌博21点，只要提前记住发的纸牌，就能处在优势。在美国的赌场，玩21点贏的概率大概设定在p=0.495。如果记住纸牌，嬴的概率就会增至p=0.51。达斯汀·霍夫曼和汤姆·克鲁斯主演的电影<雨人>中就有类似桥段。以前我在普林斯顿高等研究院做研究时，同研究院的一个同事每个周末都会去大西洋城的赌场玩21点贏点零花钱。
仅仅增加3%的有利条件，50日元翻倍成100日元的槪率马上变成了99.75%。除非运气差到极点，否则都能嬴。换句话说，这种赌博只要“在条件稍微对自己有利时投入充足的资金，基本上都能嬴钱”。这也是我的赌博必胜法宝。
道理听起来理所当然，不过请务必注意要“在条件稍微对自己有利时'即使有利的程度很低，只要概率对自己有利，投入大笔资金加上谨慎操作，的确能够在赌博中贏钱。反之，如果像拉斯维加斯的老虎机和轮盘赌那样已经被设定成对玩家存在轻微不利条件的话，即使你投入大笔资金，基本上都会以输钱告终（回顾一下假设p=0.47，那么P(m,N)≈0.0025。因此，决不能参加这类赌博。
在你今后的成长过程中也许会经历许多类似的事情。比如你想要健康长寿，但也许会生一场意想不到的大病，也许会在去学校的路上遭遇交通事故。健康长寿就跟拋硬币使钱翻倍的道理相似。如果偶然的积累会决定最终的结果，那么每一步是稍微有利还是轻微不利，不同的选择对结果的最终影响会天差地别。
在某种程度上，我们能够控制健康长寿的概率。例如饮食平衡、适当运动、拒绝吸烟、开车时系好安全带，等等。我们可以通过自身选择，将有助于长寿的每一步转化成有利条件。当然天生的体质也会影响寿命。
如果天生体质较好，用抛硬币来比喻的话，就是最开始所持资金m比较大。与此相反，每天注意身体健康与提高硬币正面朝上的概率p相同。抛硬币时，如果p=0.47那么50日元翻倍的概率只有0.25%，但是如果p= 0.53那么赢的概率达到99.75%。概率p的值相差甚微，却会让结果产生巨大的差异。有句老话叫作“每一天的积累最重要”，使用概率公式P(m,N)，我们能通过数字切实体会到每天积累的重要性！这正是数学的力量。
我们常常认为成功人士拥有某种异于常人的才能。当然其中有一部分人确实拥有不一样的才能，不过大部分人与常人并无不同。只不过，这类人懂得一步一步积累，将概率改变成对自己有利的条件，从长远来看便与常人拉开巨大的差距。上面的概率公式正好教会我们积累的重要性。
三、条件概率与贝叶斯定理，使用频率最高的公式之一

图7
好像开始有点长篇大论了，接下来我们来讲点不同类型的概率！
前面我们都在思考独立事件的概率，如果发生两个独立事件，那么两者同时发生的概率等于两个事件概率的乘积。例如在概率p的条件下抛两次硬币，正面同时朝上的概率为pxp。不过，当然还存在不是两个独立事件的情况。
假设你们班上有36位学生，其中1/3的同学擅长理科，1/2的同学擅长数学。那么，随机挑选一个学生，这个学生既擅长理科又擅长数学的概率是多少？如果两者属于独立的事件，那么概率为1/3x1/2=1/6。但是，学习理科经常要用到数学，所以擅长理科的学生多数也擅长数学。所以，这两者“并不是两个独立的事件”。
将班上36位学生按照是否擅长理科和数学进行分类，结果如下表所示：

图8
然后按照上表计算槪率。班上36位学生，其中同时擅长理科和数学的学生共有10人，所以概率为10/36≈0.28。这个概率稍大于之前计算的1/6≈0.17。
假设擅长理科同时又擅长数学的概率记作P（理科→数学）。按照上表所示，擅长理科的学生共有10+2= 12人。12人中10人同时擅长数学，那么P（理科→数学）=10/12=5/6。
另一方面，不擅长理科却擅长数学的概率为8/24=1/3。也就是说，是否擅长理科最终会影响擅长数学的概率，这两者并不是独立事件。因为是在“擅长理科”的条件下计算出的概率P（理科→数学），所以P（理科→数学）叫作条件概率。
那么，擅长数学同时又擅长理科的概率又是多少呢？按照上表计算，P（数学理科）=10/18=5/9。这个概率与P（理科数学）=5/6不同。这两个概率看起来相似，实际上完全是两码事。
不过，这两个概率也并不是完全无关。两者关系如下：

此处的P（数学）指的是擅长数学的概率=1/2，P（理科）指的是擅长理科的概率=1/3。带入数字1/2X5/9=1/3X 5/6验证，即可证明这个公式的正确性。
以上公式中的数字并不是偶然相等。请详见以下说明。

按照上述说明分别计算P（数学）P（数学→理科）和P（理科）P（理科→数学），可以发现两者的计算结果均等于

正因为两者都在计算“既擅长数学又擅长理科的概率”，所以两边的计算结果相同。

是数学界著名的“贝叶斯定理”。托马斯·贝叶斯是18世纪的英国牧师，他原本想要计算神存在的概率，结果却发现了这个公式。然而，这个公式在贝叶斯生前并没有公布，而是在他过世半个世纪以后，法国的数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯撰写了一本有关概率的书箱，并在书中介绍了这个公式。在那之后，这个公式开始被人熟知。

图9
四、乳腺癌检查是否没有意义？伪阳性的概率

图10
使用概率时，条件概率的计算往往成为关键。运用贝叶斯定理，会让概率的计算一目了然。我们可以以讨论乳腺癌检査的优缺点为例，来说明贝叶斯定理。
前面我们讲过，在某种程度上可以控制健康长寿的概率p，不过如果想要增大p值，必须每年都要参加体检。美国癌症协会建议女性从40岁起最好每年接受乳房X光检查，以便尽早发现乳腺癌。然而，美国政府的预防医学工作组却发表了“不建议40岁女性定期接受检查”的观点，引起了广泛的讨论。
如果不幸患上了乳腺癌，据说乳房X光检查结果呈阳性的概率髙达90%。公式表达如下：

概率高达90%的话，可能大家觉得还是接受检查比较好。那么，预防医学工作组为什么不建议接受检査呢？
假设接受乳房X光检查，结果呈阳性。这个时候想要知道，呈阳性的情况下真的患上乳腺癌的概率是多少？不过，90%的概率指的是与此相反的情况，即患上乳腺癌时检查结果呈阳性的概率。这两者虽然槪率不同，但是存在一定的关系。套用贝叶斯定理的话，使用公式

根据最近的统计结果，美国40岁女性患上乳腺癌的概率为0.8%。也就是说，

另一方面，40岁女性接受乳房X光检查结果呈阳性的概率P（阳性）为0.08（这个数字是从之前的数据中推导得出。详细说明请参考我的个人主页）。集齐

等关键数据后，将其带入贝叶斯定理的公式，结果如下：

也就是说，“结果呈阳性时患上乳腺癌的概率”仅有9%。伪阳性的概率超过90%。
预防医学工作组表明，因为在接受检查的女性中，检查结果呈阳性实际上却没有患乳腺癌的人数超过了90%，所以不建议接受检査。一旦结果呈阳性，必须接受活体组织检查等对身体负担更大的检査，同时对心理的打击也会更大。调查显示，即使知道是伪阳性，3个月后2个人中还是会有1个人对健康感到不安。而且，美国政府也需要一个标准来确定保险的覆盖程度。不接受检查的话，存在无法发现癌症的风险，不过接受检查同样也存在风险。
不过，对当事人来说，人的生命只有一次，为了尽早发现癌症，即使存在伪阳性的风险，还是想要接受检查P实际上，建议40岁女性接受乳房X光检查的美国癌症协会发表声明，公开反对预防医学工作组的劝告。你的妈妈从40岁起每年都会接受乳房X光检查。
40岁女性接受乳腺癌检査，结果呈阳性并患上乳腺癌的概率只有9%。但是，检查结果呈阳性后再次接受检查的话，结果又会怎么样呢？为了计算方便，假设两次检查的可靠性相同。因为第1次检査结果呈阳性，所以乳腺癌的概率为 9%，换言之 P（患上乳腺癌）=0.09。而且， 这位女性接受第2次检查后结果仍然呈阳性的概率为P（阳性）=0.14（计算方法请参考我的个人主页）。因此，再次运用贝叶斯定理，计算结果如下：

检査一次结果呈阳性的话，患上乳腺癌的概率只有9%。但是，再检查一次结果还是呈阳性的话，概率就上升至58%。
接受检查前患有乳腺癌的概率为0.8%。接受检查后结果呈阳性患乳腺癌的概率为9%，但是这并不代表检査没有意义。因为再一次接受检查，结果还是呈阳性的话，患上乳腺癌的概率达到58%。运用贝叶斯定理，每次获取新信息时都知道如何修改概率。从数学的角度体现出学习“经验”。
概率通过数字告诉我们接受检查存在的风险与不接受检查存在的风险。先准确理解数字的意义，再进行判断，这就是本章題目“从不确定的信息中作出判断”的意义。
五、用数学来“学习经验”，怒り2016

图11
下面我以特殊的骰子为例，来说明学习“经验”是怎么一回事儿。在学校学习概率时，老师们总是强调“虽然前一次掷骰子掷出1，但是下一次掷骰子掷出任何一面的概率都是不变的”。也就是说，掷两次骰子时，两次的概率是相互独立的。例如，假设不是特殊的骰子，第一次掷出1的概率是1/6，第二次掷出1的概率也是1/6。
不过，如果普通骰子和特殊骰子混在一起，分不淸哪个是哪个时，第一次是否掷出1会影响第二次的概率。
普通骰子掷出1的概率为1/6，假设特殊骰子掷出1的槪率为1/2。公式表示如下：

正因为普通骰子和特殊骰子的数量相同，假设手头上普通骰子和特殊骰子的概率是五五开，即

按照以上数据，掷出1的概率为

这个公式的导出方法请参考个人主页上的补充说明。因为其中混有容易掷出1的骰子，所以掷出1的概率为1/3，大于1/6。
那么，假设第一次掷出1，再次掷同一个骰子时，第二次掷出1的概率为多少呢？首先要注意的是，第一次是否掷出1会改变骰子是否特殊的概率。代入贝叶斯定理的话，

本来骰子是否特殊的概率为P（普通）=P（特殊）=1/2，但是如果第一次掷出1的话，那么骰子特殊的概率增至3/4。
一旦掷出1，那么骰子中特殊骰子的概率会增加，所以再次掷同一个骰子时，掷出1的概率也会增加。计算公式如下：

第一次掷骰子时掷出1的概率为P（掷出1）=1/3≈0.3。不过掷出1后，再次掷同一个骰子时掷出1的概率增加至P（掷出→掷出1）=5/12≈0.4。知道第一次掷出的是1后，骰子属于特殊骰子的概率从1/2变成3/4。因此，按照以上数据，下一次掷出1的概率从1/3更正为5/12。这就是我所说的运用贝叶斯定理来学习“经验”。
六、核电站重大事故再次发生的概率，如何把握安全性

图12
这个概率的计算方法与日本人正在面对的重大问題有关。
我们有时候必须从不确定的信息中作出判断。例如在福岛第一核电站发生事故之前，据说日本的核电站发生事故的概率极小。但是，这次事故发生后才发现，原来核电站的构造如此复杂，连专家们都无法完全把握其安全性。也没有人准确地算出事故发生的槪率到底是多少。这类似于刚才所说的骰子是否特殊，掷出1的概率到底是1/2还 是1/6。
我在报纸中看到，在这次事故发生之前，东京电力公司向日本政府提交的数据是核电站发生炉心熔融等重大事故的概率为一座核电站在10,000,000年运行期内会发生1次事故。但是，日本开始使用核电站才不过50年。目前日本国内差不多有50座核电站，再加上最近刚建成的核电站，将核电站数除以运行年数，运行的核电站总计约为1500座X1年。那么，如果东京电力公司计算的概率正确的话，在过去50年日本发生重大事故的概率为1500/10,000,000=0.00015。表示如下：

另一方面，反对建造核电站的人们主张要重视发生重大事故的概率。
我不知道他们估算的危险性有多髙，不过假设他们担心每隔几个世代就会在日本的某地发生一次重大事故的话，难道是每100年发生一次吗？如果反核电运动人士主张重视的概率是正确的话，那么在过去50年间发生重大事故的概率为50/100，也就是

如果比喻成特殊骰子，“东京电力公司估算正确”相当于“拿到普通骰子”，“反核电运动估算正确”相当于“拿到特殊骰子”。正如特殊骰子掷出1的概率会变高，假设反核电运动的主张正确，那么发生重大事故的概率也同样会变高。
在接下来的计算中，为了计算方便，假设东京电力公司估算的概率和反核电运动人士主张的概率中有一个是正确的。当然，也有一种可能性是东京电力公司和反核电运动人士估算的槪率都是错误的，所以这是一个很大的假设。不过我们的目的在于说明贝叶斯定理的使用方法，在这个假定下计算即可。
在事故发生前，很多人都相信东京电力公司的所言。至少允许建造核电站的政府官员判断核电站是安全的。假设相信东京电力公司主张正确的概率为99%，那么记作：

按照上述数据，计算50年之中发生重大核事故的概率为：

换言之，即使反核电运动人士强调100年间发生一次事故也很危险，如果他们正确的概率只有1%，那么在日本国内某处发生重大事故的概率约为0.005次，估算为10,000年间发生一次。
然而在日本，核电站的运行时间才不过50年，就发生了炉心熔融。一旦发生了事故，我们需要重新审视东京电力公司那个正确槪率为99%的主张。于是，运用贝叶斯定理的话，

事故发生以后，东京电力公司的主张正确率从99%急降为3%。原因在于东京电力公司主张的事故概率P（东电→事故）为0.00015，这个数值极小。虽然主张几乎不会发生事故，既然发生了事故，东京电力公司的主张正确率变低也在情理之中。运用贝叶斯定理，通过数学的语言来表现什么叫作“失去信任”。
那么在事故发生以后，下一次发生事故的概率又是多少呢？如果设备的运行率与事故之前相同的话，那么

反核电运动人士所说的每50年发生0.5次，也就是每100年发生1次。
为了方便说明贝叶斯定理的使用方法，简单地假设“东京电力公司和反核电运动人士估算的概率中有一个是正确的”。当然，也有一种可能性是东京电力公司和反核电运动人士估算的概率都是错误的。而且，因为P（反核电→事故）=0.5或者P（反核电）=0.01等数值是我自己随意计算得出的数字，不能这个按照表面意思来理解这些计算结果。
这次事故发生半年后，大概在2011年10月17日，东京电力公司重新公开发表了福岛第一核电站再次发生炉心熔融的概率，改为每5000年发生一次。在日本国内约有50座核电站，所有核电站重新运行的话，在日本某地发生重大事故的概率为每几百年发生1次。
当我们获取新信息，只要根据这些新信息来修改概率，就可以降低不确定性。这就是学习“经验”。继续使用核电站存在风险。另一方面，对于依赖大受进口化石燃料的日本来说，停止运行核电站同样存在风险。而且，当然还要考虑化石燃料对地球气候变化的影响。比较各方面的风险后再作判断，也就是说，计算风险需要正确理解概率。
所谓进步，就是积累经验，获取更加正确的知识。每当遇到新信息，我们需要拥有能够改变之前判断的勇气和沉稳的内心。这也是我们从贝叶斯定理中学到的。
七、欧·杰·辛普森真的杀害了妻子吗？用数学来看清本质

图13
接下来我们回到最初欧·杰·辛普森审判的话题。辩护团的德肖·维茨教授主张有家庭暴力的丈夫杀害妻子的概率为1/2500，因为这个数字太小，所以作为证据提交并没有意义。换言之，

但是，辛普森审判中最重要的问题是“有家庭暴力，而且妻子遇害时，丈夫杀害妻子的概率”。
据说在美国，已婚女性被丈夫以外的人杀害的概率为20,000人中有1个人。假设受到家庭暴力的妻子为100,000人，其中有5人遇害的原因与家庭暴力无关。另一方面，受到家庭暴力的妻子被丈夫杀害的概率为1/2500，即100,000人有40人被丈夫杀害。遇害的妻子总共为40+5=45人，其中被丈夫杀害的妻子为40人，所以受到家庭暴力的妻子被杀害时，丈夫是犯人的概率为

也就是说，只要能够证明辛普森有家庭暴力，他杀害布朗的概率为90%。提出这个概率的话，想必就不能“排除合理怀疑”了。所以，显然这是一个重要的证据。90%的概率也足以用来反驳德肖维茨教授的主张。这就是数学的力量。
事件发生时凶手所使用的黑色皮手套最终决定了审判结果。在辛普森家中发现的手套中沾有两人血液以及布朗的金色发丝，同时还检验出了辛普森的DNA。检察院提交了作为证物的手套，但是他们致命的失败在于要求辛普森戴上手套。因为沾有血迹的皮手套收缩了一些，所以辛普森的大手难以戴上。而且，后来媒体曝光出发现这个皮手套的警官是一名种族歧视者，辩护团主张这位警官有可能捏造证据诬陷黑人辛普森。由于警方草率管理证据遭到曝光，持有合理怀疑的陪审员们讨论后一致决定辛普森无罪。虽然数学起了一定的作用，但是仅靠数学也不一定能贏得审判。
数学可以精准地描述事物，这种描述能力超越了英语、日语等自然语言的表现能力。所以如果理解数学，就能看到那些无形、不可见的东西，想出从未想到过的新创意。——大栗博司

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