当年意大利科学家伽利略在比萨斜塔上做自由落体实验，经若干次重复实验，发现从塔顶落下的石子落地的时间总是相等的，且有规律
，其中 h 是塔高，t 是时间，单位是米和秒，于是就宣布了自由落体的物理定律，作为实验科学的物理和化学等自然科学，都承认可以重复做出的结果为其科学结论。数学呢？数学当然也可以重复实验，例如：4=2+2，6=3+3，8=3=5，10=5+5，12=5+7，14=7+7，16=5+11，18=7+11，……这种把偶数拆分成两个素数之和的实验可以做成功很多次，如果按物理学家们的规矩，早就可以宣布哥德巴赫猜想是真理了，然而数学不是物理，数学有自己这一行的规矩，那就是一切数学定理都必须经过严格的数学证明才算数。这种规矩是保护数学建康成长的法规，不遵守它，数学科学就要遭殃！例如，1640年数学家费马经反复实验猜想
是素数，实验结果如下：
反复多次实验，都使得猜想成立，这时敢宣布此猜想是定理吗？不敢！1732年，欧拉算出：
所以，
不是素数，后来的数学家找到形如
的48个数都是合数。可见若干次实验在数学中一般未必算是使一个结论成立的根据。
美国数学家波利亚(G.Polya)说：“数学家与自然科学家在研究方法上是截然不同的；观察对自然科学家来说是可信的方法，但对数学家来说却并非如此。选择恰当的实例进行检验，这是生物学家肯定猜想规律的唯一方法，但是对于数学家来说，选择恰当的实例进行验证，从鼓励信心的角度来看是有用的，但这样还不能算是数学科学里证明了一个猜想。经验的归纳只能说明所得结论可能成立，但并不能证明它一定可靠。”
对上面的费马数
是否是素数的问题，你也许会说实验次数太少了，只做了5次就下结论，所以出错了，事实上，有的数学命题，做一辈子实验都得出同样的结论，仍然不能下结论，例如：
实验结果为
，实验了101000次都是1，实验次数不可谓不多，写出实验的结果每秒钟写一个，一辈子也写不完，你能宣布
吗？（小编注：“≡” 是恒等于符号）你看
单靠多实验来保证数学结论的正确性可能是靠不住的。
事实上，作为严密科学的数学，它的定理不允许有一个反例。自然科学则不然，例如观察了大量的鸟类都会飞之后，可以得出“鸟类会飞”的结论，不怕驼鸟不飞这一反例的存在，自然科学追求的往往是绝大多数情况下成立的结论。
上面我们讲了许多关于经验归纳在数学中不怎么管用的话，但由经验归纳推广完备起来的数学归纳法却是一种有效的证明方法。事实上，若有一个与自然数有关的命题串Pn，即欲证n=1时，P1 成立，n=2时，P2 成立，…，对一切自然数n， Pn皆成立，只需验证开始的少数几个命题
成立，一般P1成立就够了，这叫归纳法起步，然后假设对于n≥k，Pn已成立，再通过正确的逻辑推导，在归纳法假设的前提下，证出Pn+1仍成立，就可以保证对一切自然数皆成立。这种归纳过程与经验归纳的有限例证有本质的区别，数学归纳法是说前面的命题（命题
）已成立之后，若添加下一个命题，仍然成立，于是，添加下去总能成立，岂不是永远成立这一规律了吗？所以，数学归纳法也称为科学归纳法或完全归纳法。
数学证明中还有一种强有力的证法，叫反证法。故意说在定理条件下原结论不成立，用正确的逻辑手段找出这一“故意反对”与定理的条件或其他已有事实不相容的矛盾，从而得出在定理条件下，定理的结论不成立不行的欲证结论。这种反证的思想方法在日常生活或自然科学及至社会科学当中，也多采用，但那些领域中的反证法与数学当中仍有区别，例如“凡鸟皆飞”这一命题用反证法就不合适，鸵鸟不飞不能引出矛盾。数学禁止它的定理出现反例，所以数学定理经得起反证的考验。
数学的证明最常见的是从已知通过正确的逻辑判断直接推导出结论的所谓演绎证明。在对具体问题的证明当中，也可针对其特点，把演绎、反证、数学归纳联合施用或施用这三种一般方法的变种。
对一个数学定理给出证明，还可以帮助我们理解定理，看透哪个条件的作用大，哪个条件是次要的，是否可以把条件放宽一些，结论是不等式时，是否可以把上界变小一些，把下界放大一些，等等，进而发现改进和推广该定理的思路；或发现原证明方法不够美，设计出更简洁漂亮的证明。
数学证明中的挫折和失败往往引出有价值的数学成果，例如四色猜想，历史上多少名人屡证屡错，但确引出了色交换技术和色多项式等精彩的图论成果。在数学史上一个极重大的事件是对欧几里得第五公设的证明，到19世纪，几乎每个大数学家都曾染指于此，无奈大家都失败了，引起大家对第五公设是否是真理的考虑，1759年，法国数学家达朗贝尔称欧氏平行公理是“几何原理中的家丑”，数学家M.克莱因则说：“简而言之，欧几里得的著作有着糟糕之极的缺陷。”鉴于上述证明的受阻，数学家们（例如高斯和罗巴切夫斯基）萌生了否定欧氏第五公设重建新几何的念头，非欧几何终于诞生。
非欧几何中用罗巴切夫斯基公理替代欧氏平行公理之后，建立的几何系统是相容的，即该系统不存在自相矛盾的结论，但由于长期找不到物质世界的相应模型，以至使其被冷落了一百多年，在这一困难时期，数学界无人相信非欧几何存在物理意义，甚至连对非欧几何的相容性作出了严格论证的F.克莱因、凯莱等大数学家仍然认为唯有欧氏空间才是宇宙的基本空间。直到20世纪相对论建立并应用了非欧几何，这一危机才得以解决。可见严格的数学证明是必要的，但还要获得实践的接受。不然就用可能被人视为“合乎逻辑的胡说”。
注：本文节选自《数学志异》，王树和著，科学出版社。
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