t检验、t分布、t值其实都是同一个数学概念中的不同部分。
一、t检验的历史
阿瑟·健力士公司(Arthur Guinness Son Co.)是一家由阿瑟·健力士(Arthur Guinness)于1759年在爱尔兰都柏林建立的一家酿酒公司：
图1
不过它最出名的却不是啤酒，而是《吉尼斯世界纪录大全》：
图2
1951年11月10日，健力士酒厂的董事休·比佛爵士(Sir Hugh Beaver)在爱尔兰韦克斯福德郡打猎时，因为没打中金鸻，于是和同行们争论哪种鸟飞得最快，彼此争论不休。由于当时的参考资料并不足以回答这个问题，这促使比弗想出版一本记载世界之最的书，这就是后来的《吉尼斯世界纪录大全》。
还有一个让健力士公司在历史留名的，就是他的员工威廉·希利·戈斯特(1876-1937)：
图3
在健力士公司，戈斯特提出了t检验以降低啤酒质量监控的成本，但健力士酒厂为了保护公司的商业机密和智慧财产，明文禁止员工发表文章。
戈斯特并没有因为这项规定而放弃他的学术研究发表，他在《生物统计期刊》以“学生”(The Student)为笔名，发表了关于t检验的文章，所以t检验又称为“学生t检验”。
直到1937年，戈斯特因心脏病去世之前，健力士酒厂一直不知道戈斯特从事统计研究工作，并以“学生”笔名发表研究成果。许多统计研究者要和戈斯特见面，都必须像间谍电影般地秘密安排见面地点和时间。
现在位于都柏林的健力士专卖店中有一个戈斯特的纪念碑，上面写著“化学家、统计学家威廉·希利·戈斯特，首席酿酒师，学生t检验”：
图4
二、t检验的思路
啤酒，主要原料是大麦，啤酒厂肯定是希望尽力提高亩产。
比如，健力士公司有下面两块麦田：
图5
左边的麦田采用传统A工艺进行种植，平均每株大麦可以结100粒穗子。
而右边的麦田采用改进过的B工艺种植，健力士公司想知道“B工艺是否提高了产量”。
为了节约成本、减小损耗，抠门的健力士公司从B工艺的麦田中采样了5株大麦，样本均值为120粒穗子。然后把难题抛给了戈斯特。
似乎直观看来产量提高了，毕竟均值增加了20%，可是戈斯特想得更多一些。
1. 戈斯特的分析
戈斯特提出一个假设检验（关于假设检验可以参看这篇文章）：
● 假设：B工艺没有提高产量，即AB下的麦穗都是同一个分布
● 检验：看看在此假设下，
发生的概率高不高
已知的数据是，A工艺下的单株麦穗的个数服从
，标准差
未知的正态分布：
而B工艺下的麦田的样本均值
，采样了5株。
不同的标准差对应的正态分布图像不同：
图6
图像的跨度由标准差
决定：
图7
如果服从以下正态分布：
，跨度不大，采样五个点使其
的图像如下：
图8
可见，
的概率非常低，即AB下的麦穗是同一个分布的可能性不大，我们有很大把握可以认为B工艺真正提高了产量。
而如果
服从的是跨度更大的正态分布，采样五个点使其
的图像如下（为了演示，正态分布的参数选的不是很严谨）：
图9
这样的正态分布下，
的概率并不低，即AB下的麦穗还是可能为同一个分布的，我们没十足的把握认为B工艺提高了产量。
因此，看起来不能单纯依靠
，或许除以样本标准差
可以消除跨度的影响：
因为A工艺的
我们不清楚，但是我们假设AB同分布，所以直接使用了样本标准差
。
当然，样本数
也会影响结果。比如说，在
下，得到
，那么根据大数定理，我们不用算了，基本上可以认为“B工艺提高了产量”。
所以，戈斯特认为应该综合考虑样本均值
、样本方差
和样本数
，给出了一个统计量t值：
该统计量越大说明AB工艺导致的差别越大，越有可能说明“B工艺提高了产量”。
三、t分布
对于t值：
对应的概率密度函数，也就是t分布为：
其中
，也叫做自由度。而
为伽马函数。
接近于正态分布
（灰色的虚线就是
），下面是
的t分布：
图10
而t值，实际上对应的就是横坐标的值，比如说t值等于4：
图11
t=4之后的曲线下面积其实就是P值（关于P值可以参看这篇文章）：
图12
所以，我们知道t值之后，就可以根据
以及要求的P值，查出当前的t值是否会拒绝我们的假设。
举个例子，比如本文中的AB工艺下的数据为：
计算出来：
服从
的t分布：
图13
如果我们要求5%的显著水平的话，那么就可以拒绝“B工艺没有提高产量”这个假设了。
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