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矩阵、矩阵乘法的由来

下面是我们《马同学线性代数基础班》的节选。
矩阵、矩阵乘法最初的目的是为了解线性方程组。
在现实生活中有很多线性方程组,比如:
一、色彩空间
电视机成像的原理大概是,通过一把电子枪,把电子打到屏幕上:

图1
不过对于这样的彩色图片:

图2
根据之前我们对色彩空间的介绍,我们以为基,可张成整个色彩空间。
所以,我们可以使用三把电子枪,分别是,来呈现出彩色的画面:

图3
但是,电视台那边过来的信号不是,而是,其中是对色彩空间的另外一种分解方式。
这点从我们电视背后的接口就可以看出,在下图中标注的色差接口,即,其实就是(两者的区别不是在色彩分解上,而是电视成像技术中的“逐行扫描”以及“隔行扫描”。也有资料说,一个是数字信号,一个是模拟信号,仅供参考):

图4
下面是之前彩图的分解,第二幅图就是灰度图,也就是

图5
这是有原因的,因为最早的电视是黑白电视,升级到彩色电视,但是依然要保持对黑白电视的兼容,中的正好是灰度图,可以让黑白电视成像。
假如你是黑白电视,背后应该就只有一个视频输入接口,只需插入电视台过来的信号就可以观看了。
但是,如果是彩色电视,那么得到电视台传过来的信号,就需要解如下方程组得到,给三把电子枪使用:

这个方程组怎么解呢?
二、高斯消元法
已知实际是一个线性方程组,解这种方程组有一个通用的办法,高斯消元法。
1. 高斯消元法的目标
之前的方程不好计算了,我们举一个简单的例子:

从几何上来讲,两个方程都是直线,求解方程组就是找到两根直线的交点:

图6
因为都是直线,所以我们称为线性方程组。
求解的思路几乎是句废话,即找到交点的坐标:

图7
也就是把方程化成这个样子:

这就是高斯消元法的目标。
2. 高斯消元法的思路
要达到这个目标,高斯消元法的思路是,第一行把这些给消了:

图8
第二行把这些给消了:

图9
第三行反过来,把这些给消了:

图10
第二行,把这些给消了:

图11
最后,达到目标:

图12
3. 例子
下面我们看看怎么用高斯消元法来解。
先标注一下方程组,表示第一行,表示第二行:

表示新的第一行,表示新的第二行,我们进行以下操作:

其中,的意思就是:

图13
我们得到新的方程组:

按照这个思路,完整的解题过程如下:

至此,解出答案:

图14
三、标记法

图15
英国数学家阿瑟·凯莱(1821-1895)对于看似简单的高斯消元法进行了研究,得出了惊人的结果。
他当时研究矩阵的动机出于对线性方程组计算的简化。
比如,下面是一个线性方程组:

对于这样一个线性方程组,在固定未知数的顺序(出现在第一个位置,出现在第二个位置,常数在等号右边)后,且保证每个未知数都出现(不出现时,系数为0),方程组就只需要系数来表示了。
按照上面的规定,方程组可以简写为如下数块:

1. 练习题
:将

用数块来表示。
:在保证顺序且每个未知数都出现的原则下,原方程组可改写为:

因此,方程组写成数块形式为:

四、凯莱的高斯消元法
我们开始用凯莱的方法进行高斯消元法。

1. 方程简化
还是解之前的方程组:

将方程组简化为数块:

之前说过,高斯消元法的目标是:

写完整点就是:

因此我们的目标就是要把数块变成下面这个样子:

对应之前的高斯消元法:

得到结果:

正如你看到的,解起来并不复杂,但是要将过程描述清楚却很繁琐,这很不数学。
能不能更优雅的展现这个过程呢?
2. 数块乘法
数学家发明了一种数块的乘法,简洁地进行高斯消元法。
(1) 单行乘法

定义为:

(2) 多行乘法
对于:

它表达了两个过程:

将此定义为:

其中第一行运算的结果放在第一行,第二行运算的结果放在第二行:

图16
3. 过程简化
有了这个运算规则后,整个高斯消元法就可以表示如下:

至此,得到答案:

可见,数块以及对应的乘法,在高斯消元法的过程中,非常简洁清楚易用。
五、矩阵的定义
阿瑟·凯莱在1858年的《矩阵理论纪要》的论文中,给这个数块以合法的数学地位,取了一个名字:矩阵。刚才的数块乘法自然也被称为了矩阵乘法。

 

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