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如何理解常微分方程的通解、特解以及所有解?

对于这样的微分方程:


其中,,我们称为常微分方程。
求解常微分方程是有明确的几何意义的。我们下面就通过它的几何意义,来观察什么是通解、特解以及所有解。
一、解常微分方程的几何意义
是有明确的几何意义的:

图1
在这个曲线上取几个点,作出点附近的切线:

图2
根据微积分的思想,“以直代曲”,切线就是代替曲线的最佳直线。
所以我们可以看到,如果曲线上的点密集一点,切线就看起来很接近曲线了:

图3
我要是把曲线去掉,你大概也能根据切线脑补出曲线的样子:

图4
求解常微分方程的几何意义就是,根据切线画出曲线。
二、欧拉方法
欧拉,给出了一个以他名字命名的欧拉方法,可以通过切线来画出曲线。
怎么作出切线呢?这个就是导数的方程,把导数作为斜率就可以画出切线。
我们举个最简单的例子吧,。我们随便选一点作为起始点

图5

图6
不断重复以上步骤,我们可以得到一个折线段:

图7
容易知道的一个解,我把画出来看一下,会发现这两个的图像还是有点接近:

图8
随着的缩小,图像就越来越接近(为了方便观看,我把点给去掉了):

图9
欧拉方法就是这样通过切线来把原来的曲线描绘出来的,这些连起来的折线,我们就称为欧拉折线。
欧拉折线肯定和曲线是有误差的,就好像泰勒级数和原来的曲线有误差一样,这里就不深入讨论了。
三、线素场
欧拉方法计算量其实还蛮大的(越小计算量越大),不过好歹人手还可以算。
有了计算机之后,我们就可以不管计算量了,所以就有了更有效的线素场。
其实说来也简单,我在平面上等距离取点:

图10
然后以这些点为起点,根据画出切线,这就是线素场(或者称为斜率场):

图11
结合欧拉折线和线素场,我们就可以开始分析通解、特解和所有解了。
四、通解、特解和所有解
1. 通过欧拉折线来观察解

我们通过来继续讲解。这个微分方程的通解还是很容易求的,就是:

知道通解之后我们通过图像来验证下。
指定的位置,可以画出不同的欧拉折线(大家可以观察到,有了线素场之后,就算没有欧拉折线,我们大概也可以脑补曲线的样子):

图12
不同的,就相当于不同的初始值。不同的初始值得到的欧拉折线都是的一个特定的解(这里不用特解这个词,因为同济大学的书上的定义,特解是通解的一个特定解)。
这些对应

图13
这些对应

图14
容易观察到,还有一个解是通解里面没包含的,这就是

图15
你可以手动拖动下,看看可以得到怎样的解:

图16
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2. 小结
至此,我们可以得到以下结论:
微分方程往往有无数多个解
有一些解,可以写成的形式,其中为任意常数,称为通解
对于通解,特定的初始值,可以得到一个特解
通解并不包含所有解
具体到刚才举的函数就是:

图17
五、一个小尾巴
有的同学说,如果我把的通解写作:

是不是通解就包含所有解的?
让我们来看看是如何求解的:


此时,是任意常数。然后我们做个变形:


注意,此时的
所以,按照书上的定义,并不能称为通解。
当然,让,正好可以得到这个解,实际上是一个巧合。
让我们另外举一个例子,就可以规避这种巧合:

图18
自己动手来试试这个微分方程(橙色曲线是某个特解,可以通过拖动条来改变;蓝色曲线是欧拉折线,可以拖动来改变):

图19


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