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能平铺平面,却不能周期性地平铺平面

看看自己脚下的地板——虽然正方形、长方形、正六边形等图形都能平铺整个平面,但平铺的方式却非常无聊,不过是同一种模式不断重复罢了。有没有什么“非平凡”的平铺方案呢?下面就给大家看这样一个图形,加上一些限制条件之后,它仍然能够平铺整个平面,不过平铺出来的结果却非常神奇——它并不能通过简单的重复得到,也就是说它不具有周期性。
下图就是这个传说中的地板砖(及其镜像):

图1
拼接时有两个要求:
(1) 黑色的线条必须连在一起
(2) 一条边两端的紫色小旗必须朝向相同的方向(如箭头所示,注意两个小旗来自于两个不相邻的砖块)

图2
可以证明,用这种六边形(及其镜像)是能够平铺整个平面的,但方案是唯一的——一个有点分形味道的图形。拼接的限制很巧妙地迫使黑色线条构成规模越来越大的三角形,从而使得整个图形在任意方向上都不具有周期性。

图3


这是首个用单块图形实现的只能非周期地平铺整个平面的砖块,是由 Joan M. Taylor 在今年 9 月发现的。详细的讨论可以看看 他的论文 。

 

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