数学猜想并不总是对的，错误的数学猜想不占少数。关键在于，有时反例太大，找出反例实在是太困难了。这篇日志收集了很多“大反例”的例子，里面提到的规律看上去非常诱人，要试到相当大的数时才会出现第一个反例。
一、千万不要迷信规律
圆上有 n 个点，两两之间连线后，最多可以把整个圆分成多少块？
图1
上图显示的就是 n 分别为 2 、 3 、 4 的情况。可以看到，圆分别被划分成了 2 块、 4 块、 8 块。规律似乎非常明显：圆周上每多一个点，划分出来的区域数就会翻一倍。
事实上真的是这样吗？让我们看看当 n = 5 时的情况：
图2
果然不出所料，整个圆被分成了 16 块，区域数依旧满足 2n-1 的规律。此时，大家都会觉得证据已经充分，不必继续往下验证了吧。偏偏就在 n = 6 时，意外出现了：
图3
此时区域数只有 31 个。
二、最有名的素数生成公式
1772 年，Euler 曾经发现，当 n 是正整数时， n2 + n + 41 似乎总是素数。事实上，n 从 1 一直取到 39，算出来的结果分别是：
43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281,
313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,
911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601
这些数全都是素数。第一次例外发生在 n = 40 的时候，此时 402 + 40 + 41 = 402 + 40 + 40 + 1 = (40 + 1)(40 + 1) = 41 × 41。
三、xn – 1 的因式分解
x2 – 1 分解因式后等于 (x + 1)(x – 1) 。 x20 – 1 分解因式后等于
(x – 1) (x + 1) (x2 + 1) (x4 – x3 + x2 – x + 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) (x8 – x6 + x4 – x2 + 1)
对于所有的正整数 n ， xn – 1 因式分解后各项系数都只有可能是 1 或者 -1 吗？据说有人曾经算到了 x100 – 1 ，均没有发现反例，终于放心大胆地做出了这个猜想。悲剧的是，这个猜想是错误的，第一个反例出现在 n = 105 的情况， x105 – 1 分解出来等于
(x – 1) (x2 + x + 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
(x8 – x7 + x5 – x4 + x3 – x + 1) (x12 – x11 + x9 – x8 + x6 – x4 + x3 – x + 1)
(x24 – x23 + x19 – x18 + x17 – x16 + x14 – x13 + x12 – x11 + x10 – x8 + x7 – x6 + x5 – x + 1)
(x48 + x47 + x46 – x43 – x42 – 2 x41 – x40 – x39 + x36 + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 – x28
– x26 – x24 – x22 – x20 + x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 – x9 – x8 – 2 x7 – x6 – x5 + x2 + x + 1)
四、以 2 为底的伪素数
下面是当 n 较小的时候， n 与 2n – 2 的值。
似乎有这样的规律： n 能整除 2n – 2 ，当且仅当 n 是一个素数。如果真是这样的话，我们无疑有了一种超级高效的素数判定算法（ 2n 可以用二分法速算，期间可以不断模 n ）。国外数学界一直传有“中国人 2000 多年前就发现了这一规律”的说法，后来发现其实是对《九章算术》一书的错误翻译造成的。再后来人们发现，这个规律竟然是错误的。第一个反例是 n = 341，此时 341 能够整除 2341 – 2 ，但 341 = 11 × 31 。
事实上，根据 Fermat 小定理，如果 p 是素数，那么 p 一定能整除 2n – 2。不过，它的逆定理却是不成立的，上面提到的 341 便是一例。我们把这种数叫做以 2 为底的伪素数。由于这种素数判定法的反例出人意料的少，我们完全可以用它来做一个概率型的素数判定算法。事实上，著名的 Miller-Rabin 素性测试算法就是用的这个原理。
五、Perrin 伪素数
定义 f(n) = f(n – 2) + f(n – 3) ，其中 f(1) = 0 ， f(2) = 2 ， f(3) = 3 。这个数列叫做 Perrin 数列。
似乎有这么一个规律： n 能整除 Perrin 数列的第 n 项 f(n) ，当且仅当 n 是一个素数。如果这个规律成立的话，我们也将获得一个效率非常高的素数检验方法。根据 MathWorld 的描述，1899 年 Perrin 本人曾经做过试验，随后 Malo 在 1900 年， Escot 在 1901 年，以及 Jarden 在 1966 年都做过搜索，均未发现任何反例。直到 1982 年， Adams 和 Shanks 才发现第一个反例 n = 271 441 ，它等于 521 × 521 ，却也能整除 f(271 441) 。下一个反例则发生在 n = 904 631 的时候，再下一个反例则是 n = 16 532 714 。这种反例被称为 Perrin 伪素数。
六、最经典的大反例
说到大反例，这是我最喜欢举的例子。下面是大于 1 的正整数分解质因数后的结果：
2 = 2
3 = 3
4 = 2 × 2
5 = 5
6 = 2 × 3
7 = 7
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5
…
其中，4、6、9、10 包含偶数个质因子，其余的数都包含奇数个质因子。你会发现，在上面的列表中一行一行地看下来，不管看到什么位置，包含奇数个质因子的数都要多一些。1919 年，George Pólya 猜想，质因子个数为奇数的情况不会少于 50% 。也就是说，对于任意一个大于 1 的自然数 n ，从 2 到 n 的数中有奇数个质因子的数不少于有偶数个质因子的数。这便是著名的 Pólya 猜想。
Pólya 猜想看上去非常合理——每个有偶数个质因子的数，必然都已经提前经历过了“有奇数个质因子”这一步。不过，这个猜想却一直未能得到一个严格的数学证明。到了 1958 年，英国数学家 C. B. Haselgrove 发现， Pólya 猜想竟然是错误的。他证明了 Pólya 猜想存在反例，从而推翻了这个猜想。不过，Haselgrove 仅仅是证明了反例的存在性，并没有算出这个反例的具体值。Haselgrove 估计，这个反例至少也是一个 361 位数。
1960 年，R. Sherman Lehman 给出了一个确凿的反例：n = 906 180 359。而 Pólya 猜想的最小反例则是到了 1980 年才发现的：n = 906 150 257。
七、Fermat 大定理还能推广吗？
Fermat 大定理说，当 n > 2 时，方程 xn + yn = zn 没有正整数解。 Euler 曾经猜想，当 n > k 时，方程 x1n + x2n + … + xkn = yn 都没有正整数解。 1986 年，Noam Elkies 给出了方程 x4 + y4 + z4 = w4 的一个正整数解，从而推翻了这个猜想。这个反例是：2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734 。
八、XX 型平方数
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 1010, 1111, 1212, … 都不是完全平方数。有没有什么数，把它连写两次后，正好是一个完全平方数呢？有。第一个这样的数是 13 223 140 496 ，把它连写两次将得到 1 322 314 049 613 223 140 496 ，是 36 363 636 364 的平方。第二个这样的数则是 20 661 157 025 ，它对应了 45 454 545 455 的平方。更多信息可见 http://oeis.org/A102567 。
九、总是相等吗？
下面是 n 为正整数时， 2 / (21/n – 1) 取上整的结果与 2n / ln(2) 取下整的结果：
这两者的结果总是相等吗？不是的。第一个反例是 n = 777 451 915 729 368，前者算出来的结果是 2 243 252 046 704 767 ，但后者是 2 243 252 046 704 766 。下一个反例则出现在 n = 140 894 092 055 857 794 的时候。更多信息可见 http://oeis.org/A129935 。
十、至今仍未找到的反例
有没有什么猜想，明明已经被推翻了，所有人都知道存在反例，但因为反例实在是太大了，直到现在仍然没有找到呢？有。下面这张表展示了 n 取不同值时 pi(n) 和 li(n) 的值，其中 pi(n) 表示不超过 n 的素数的个数，li(n) 则是对数积分\(\int_{0}^{n}dx/ln(x)\)。
pi(n) 是否永远小于 li(n) 呢？1914 年，Littlewood 证明了存在一个大数 n 使得 pi(n) ≥ li(n) ，不过却并没有给出一个具体的 n 值来。1955 年，Skewes 给出了这样的 n 值的一个上界：在 10^(10^(10963)) 以内，必有一个满足 pi(n) ≥ li(n) 的 n 。
虽然数学家们正在不断地改进上界（目前的上界大约是 e727.9513），但仍然无法找出一个具体的 n 来。原因很简单——这个反例实在是太大了。
几个主要来源：
http://redd.it/iikk4
http://www.guokr.com/article/9688/
http://mathoverflow.net/questions/15444
如果你对此感兴趣，不要错过数学史上的一篇经典论文：The Strong Law of Small Numbers
这篇日志今后将不断更新
2011-10-13 Update:
十一、Borwein 积分
2001 年， David Borwein 和 Jonathan M. Borwein 在一篇论文中指出：
事实上，这个规律一直到
都是成立的。但
却打破了规律。其原因是， 1/3 + 1/5 + … + 1/15 超过了 1 。
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