图1
如图，两条直线相交于点 O 。 △ABC 的顶点 A 在其中一条直线上，顶点 B 在另一条直线上。如果保持 △ABC 的各边边长不变，让点 A 和点 B 在所在直线上滑动，那么点 C 描绘出来的轨迹是一个什么样的图形？
图2
答案：是一个椭圆。
图3
为了证明这一点，我们过 O 、 A 、 B 三点做一个圆，并把圆心记作 M 。过 M 、 C 两点作一条直线，直线与圆相交于 P 、 Q 两点。注意到由于 PQ 是圆的直径，因此 ∠POQ 始终为直角。在 △ABC 移动的过程中，圆的直径 AB/sin(∠AOB) 将会始终保持不变。既然圆的直径总是相同的，因此我们可以把这个圆重新描述为过 A 、 B 两点的一个指定直径的圆，这样的话整个圆以及 P 、 Q 的位置就唯一地由 △ABC 决定了。这样，弧 AP 和弧 AQ 的位置虽然不断在变，但它的弧度总保持不变，因此其圆周角也不会变化，即 ∠AOP 和 ∠AOQ 总是定值。既然 A 的轨迹是一条直线，那么 P 、 Q 的轨迹也就分别是一条直线。而 ∠POQ 始终是 90° ，因此 P 、 Q 的轨迹实际上是过 O 点的两条垂直线。
图4
以这两条垂直线作为坐标系，我们便可以以一个全新的角度来描述 C 的轨迹了。我们可以把定长线段 PQ 看作是在这个坐标系上滑动，而点 C 的轨迹则是 PQ 上的一定点移动的轨迹。设 C 到 P 的距离为 a ， C 到 Q 的距离为 b ，由于 sin(∠OPQ) 和 sin(∠OQP) 的平方和总为 1 ，因此显然 C 点的坐标 (x,y) 总满足 x2/a2 + y2/b2 = 1 。因此，点 C 的轨迹就是以 OP 、 OQ 为轴的椭圆了。
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