让我们从小时候玩过的翻绳游戏开始这个问题的讲解。
一、翻绳
对于翻绳的这个花型而言，是由四只手完成的：
图1
我们可以认为这个花型是由两个方向的力合成的：
图2
容易想象，如果其中一个力（相比另外一个力而言）比较小的话，那么绳子的形状基本上由大的那个力来决定：
图3
二、奇异值分解与奇异值
类比于翻绳，我们可以认为：
奇异值分解，就是把矩阵分成多个“分力”
奇异值的大小，就是各个“分力”的大小
1. 奇异值分解
下面通过一个具体的矩阵例子来解释下，比如：
根据之前的类比，矩阵是“力”，“力”怎么画出来呢？
翻绳游戏中的“力”要通过绳子的形状来观察。很显然要观察矩阵也需要一个载体。
我们通过单位圆来观察矩阵：
图4
把这个单位圆的每一点都通过A进行变换，得到一个椭圆（我把单位圆保留下来了，作为一个比较）：
图5
对A进行奇异值分解：
实际上，将A分为了两个“分力”：
我们来看看第一个“分力”
作用在单位圆这个“橡皮筋”上的效果：
图6
可怜的“橡皮筋”被拉成了一根线段。
我们来看看第二个“分力”
作用在单位圆这个“橡皮筋”上的效果：
图7
可怜的“橡皮筋”被拉成了另外一根线段。
这两个“分力”一起作用的时候，可以想象（画面自行脑补），单位圆这个“橡皮筋”被拉成了椭圆：
图8
2. 奇异值的大小
刚才举的矩阵的两个“分力”大小，只相差一倍，如果相差很大会怎么样？
换一个矩阵A，对它进行奇异值分解：
这两个“分力”的奇异值相差就很大，大概相差了40倍。
单位圆被A映射成了短轴和长轴相差太大的椭圆，看起来和直线差不多：
图9
我们试试，把小的那个奇异值去掉会怎么样：
把单位圆变为了一根直线：
图10
这个直线和之前的椭圆看上去差不多。
回到之前的比喻，两个相差很大的分力作用在“橡皮筋”上，“橡皮筋”的形状可以说完全取决于大的那个分力。
3. 奇异值为什么这么神奇？
奇异值分解实际上把矩阵的变换分为了三部分：
● 旋转
● 拉伸
● 投影
拿刚才的：
举例子（方阵没有投影，不过不影响这里思考）：
图11
单位圆先被旋转，是没有形变的：
图12
再进行拉伸，这里决定了单位圆的形状，奇异值分别是椭圆的长轴和短轴：
图13
最后，被旋转到最终的位置，这一过程也没有发生形变：
图14
所以，奇异值决定了形变，大小决定在形变中的重要性。
三、总结
根据奇异值分解、以及奇异值的特点，有很多应用。
比如，可以把图片转为矩阵，通过丢弃不重要的奇异值，进行压缩：
图15
比如，可以把很多数据放在矩阵中，通过丢弃不重要的奇异值，来减小处理量。
还比如，可以从矩阵中，找到最大的奇异值，从而得到数据最重要的特征。
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