声明下，下面都是用傅立叶级数来阐述，文章最后会说明下傅立叶级数和傅立叶变换之间的关系。
让我们从比较容易懂的解释开始吧。
一、直观解释
1666年牛顿发现太阳光经三棱镜的折射后可呈现彩色光，称为光的色散现象：
图1
先说一个物理常识，光是一种波，而光的颜色由振幅和频率所决定。
所以色散实际上是，白色的光波被分解为七色光波（实际应该是无数种颜色的光波）：
图2
七色光波可以用正弦波
（其中
是振幅，
可以表示频率）来近似。因此上面实际就是傅立叶级数（下面只是傅立叶级数的非常不准确的近似，为了帮助理解简化成了这样子，让我心中充满了罪恶感，后面会给出严格定义）：
图3
雨过天晴，有时就会看见彩虹：
图4
雨后空气中的水分就好像无数的三菱镜，把太阳光拆成了彩色。正是大自然中的色散现象。
这大概是我们在自然界中最容易观察到的傅立叶级数。
在自然界中这个故事还有续集，我们继续讲下去。
德国化学家罗伯特·威廉·本生(1811-1899)，发明了本生灯：
图5
本生灯除了温度高外，还有一个显著特点，如果合理的控制燃料的成分和喷射压力，可以让火焰没有颜色。
偶然的情况下，本生撒了把盐（氯化钠）到灯的火焰上：
图6
本来无色的火焰变成了黄色：
图7
这实际上就是盐中的钠燃烧的颜色。
不同的化学元素燃烧的时候会有不同的颜色，复合物质的燃烧颜色会由它的成分的燃烧颜色来合成决定。
因此，如果我们想检测某个物质的成分，就可以把它点燃，然后对它的光进行傅立叶级数分解，就可以得到组成成分。
图8
从这个意义上来说，万物皆可进行傅立叶级数分解，这也是它的发现者约瑟夫·傅里叶男爵(1768-1830)所坚信的（实际上是有一定限制的，这个就比较数学了，可以查看傅立叶的收敛定理）。
好了，直观解释讲完了，其实也没有什么卵用。
就好像“听过很多道理，依然过不好这一生”。
我们需要更深入的理解，才能陪傅立叶好好过完这一生。
二、时域：旋转与傅立叶级数
我迫不及待的要给出傅立叶级数的严格形式，以弥补我之前的近似。
假设，
为周期为
的函数，并且满足傅立叶级数的收敛条件，那么可以写作傅立叶级数：
其中：
1. 欧拉公式
根据欧拉公式：
我们可以推出：
根据上式，我们可以写出傅立叶级数的另外一种形式：
其中：
看到复数也不要怕，根据我之前的文章如何通俗易懂地解释欧拉公式，我们看到类似于
这种就应该想到旋转：
图9
从这角度来看，傅立叶级数：
实际上就是说，曲线可以理解为无数旋转的叠加，这怎么理解呢？
2. 火星的轨迹曲线
比如这是地球上观察到的火星运行的轨迹（图片来源：http://cseligman.com/text/sky/retrograde.htm）：
图10
我们可以通过两个圆周运动的叠加来模拟出这个曲线（图片来源：http://faculty.fullerton.edu/cmcconnell/Planets.html）：
图11
其实这就是地心说，感兴趣可以看下我的这篇文章。
通过这种圆环套圆环的做法，可以模拟各种复杂的图形，比如可以画出辛普森来：
视频1（视频出处）
3. 旋转的傅立叶
所以，傅立叶级数实际上就是把
看作是圆周运动的组合。
只是
是不断变大的，而不是绕着圆变换的，所以就画出了函数曲线：
图12
不断增大的
就好像是时间流逝，永不回头，所以我们也称为“时域”。
三、频域：线性代数与傅立叶级数
时域是现实存在的，频域却是生造的了，理解起来更加抽象。
但，敲黑板了，频域是傅立叶级数（变换）更本质的内容。
把傅立叶级数（变换）视作圆周运动的组合，是比较粗浅的看法，是买椟还珠的作法。
而把傅立叶级数（变换）看作频域，等于直接把它绑上了线性代数的战车，把它从固定在发射井中的常规核武器变成了游走不定、更具威力的核潜艇、核卫星。
1. 线性代数
线代的最基本的研究对象就是向量，带箭头的一根直线：
图13
线代的基本操作就是把向量分解为基的合成：
图14
即：
这么做的好处很多，比如物理中，分析各个方向上的受力，然后进行合成：
图15
比如，如果
，我们就可以知道，
上的分量更重要，
方向上的分量可以丢掉。（关于这个内容可以参看我写的如何通俗的理解奇异值）。
线性代数还有很多好处，你在使用傅立叶级数的时候就会感受到。
2. 傅立叶级数的基
傅立叶级数（变换）本身是线性的（这个就是比较抽象的线性了），因此我们可以把线性代数在傅立叶级数上进行推广。
让我们先找到傅立叶级数的基是什么。
为了说明方便，假设
的周期
，那么有：
其中，以下无穷集合：
是无限维向量空间中的一组基，而且还是正交单位基。
可是，函数为什么可以做基啊？怎么有无限个基啊？无限维向量空间又是什么啊？这个，咱们这里就不展开了，如果确实想知道，这里有你需要的一切：傅立叶分析专题。
3. 傅立叶级数向量
可以写作：
因为
是基，所以可把
表示为一个向量：
这个向量其实就是傅立叶级数的向量。
因为基
实际上反映了周期运动的频率，我们以频率为基，所以这样看待傅立叶级数的方式就是“频域”。
4. 频谱图
对于：
我们用
来描点作图，就得到频谱图。
下面是一个周期矩形波的频谱图：
图16（图片出处）
5. 应用
(1) 图像压缩
我写的如何通俗的理解奇异值中，里面就说过图像压缩的问题。
傅立叶级数通过同样的原理也可以做图像压缩，比如JPG就是用傅立叶进行图片压缩的。
原理可以大概这么理解，哪些基上的坐标值特别小，就可以丢掉，这样就可以压缩图像。
这就是把函数分解到正交基上的好处，我们可以用线性代数中的知识直接去处理。
信号处理中还有不少类似的分解，比如小波变换。所以掌握数学思想尤为重要。
(2) 模式识别
类似的图像，通过傅立叶变换，转换到频域之后看起来确实比较类似，比如下面这幅图，A的频域看起来就挺像，而A、B、C、D之间看起来就不太一样：
图17（图片出处）
我们人眼观察图片的方法对计算机并不适用，似乎对于计算机而言，频域更能揭示“特征”。
四、傅立叶级数和傅立叶变换
傅立叶级数是基于周期函数的，如果我们把周期推广到
，那么也就变为了非周期函数，这就是傅立叶变换。
两者的频谱图对比，可以看到傅立叶变换的频谱图是连续的（上面是周期函数的傅立叶级数分解，下面是非周期函数的傅立叶变换）：
图18（图片出处）
最后，我在找资料的时候，发现了一个可以完成傅立叶级数的机械装置，非常好玩：
视频2（视频出处）
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