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对称为何 | 完美形式法制

在几何中,如果一个物体在经过镜像或者旋转等变化后与自己是一样的,那么它就表现出了对称性。对称性是在所有样式背后隐藏着的数学法则。
对称性在许多的研究领域都有突出的重要性:艺术(陶瓷、雕塑、地毯的图形镶嵌)、建筑学、数学(几何、群论和线性代数)、生物学(生物体的外形)、化学(分子形态和晶体结构)、物理(对称性对于守恒量的作用)、天文学。

图1:物理学——宇称守恒

图2:化学——晶体结构

图3
“对称”一词由十六世纪从希腊单词西区的拉丁文词汇一起(Syn-)和测量(metron)组成。
一、对称的常见类型
1. 反射

在通常的认识上,对称常指镜像或者反射对称,即我们可以在物体上画出一条直线(二维)或者平面(三维)使被划分开的两半是彼此的镜像。等腰三角形和人脸都是很好的例子。在数学上来说,一个物体具有镜像对称性要求它在反射的情况下不变,即在一种方式下对物体进行反射不改变它的外观。

图4
在生物学上,反射对称意味着双侧对称性,在哺乳动物、爬行动物、鸟类和鱼类身上都有发现。
2. 旋转
在生物学中常见的另一种对称形式是径向对称。在诸如海葵、海星和水母等海洋动物和鲜花上都有体现。数学上来说,这一类物体表现出了旋转对称性,即在一种方式下对物体进行旋转不改变它的外观。这些物体都可以围绕一个点(二维)或者轴(三维)旋转一定的角度后与原来形态保持不变。

图5
3. 平移
如果在所有的方向上都可以无限的延长,一个二维或者三维的央视可以表现出平移对称性,即在平移变换之后形体不发生改变。所有的方格花纹,攀爬架(类似于单双杠,见下图),地毯或者墙纸上图案的样式都展现出了平移对称性。

图6
二、其他形式的对称
虽然有许多物体都表现出了多种的对称性(例如一个六角星具有六个镜像轴和六个旋转角度),但有一些物体和图案只有在同时进行两种操作时,才能保持其形态不变。
1. 非正常旋转(反射旋转)Improper Rotation = 反射 + 旋转
具有棱方向的正五角反棱柱(pentagonal antiprism)在非常旋转的变换下形体保持不变(在下图的例子中,旋转36°并沿水平面镜像后保持不变)

图7
2. 滑移反射(GlideReflection) = 平移 + 反射
一组脚印如果在某个方向上无限延伸,那么它在滑移反射的变化下形态保持不变。

图8
3. 螺旋转动(ScrewRotation) = 平移 + 旋转
一个由四面体组合成的螺旋,如果在其方向上无限延伸,其在螺旋转动下形态保持不变。在例子中为一个平移变换与一个131.8°的旋转变换相结合。

图9
三、对物体和图案样式进行分类
数学家和晶体学家将物体和样式依据物体通过变换后保持自身不变的方式对对称物体进行分类。一个二维或者三维的物体使用一套“点集(point group)”来描述其在反射、旋转(三维中为反射旋转)之后保持自身不变的方式。当使用一个物体作为一个样式的主题,我们可以很方便的将它分类到一个晶体图形学的电机之中,在二维状态下有如下图中的10种方式,在三维中则是32种。

图10:二维10种对称方式

视频1:三维的32种对称类型(视频仅4mb)
在晶体学的常规标记系统中,这被称为熊夫利斯标记法(Schoenfliesnotation),以德国数学家Moritz Schoenflies命名:
l  “C”表示循环(cyclic),这些物体具有旋转对称性,但没有反射对称性。脚注的数字物体具有多少旋转对称性。例如C2表示这个图形有在360°内可以通过两种不同的旋转方式回到其本身。另一方面,所有的循环物体都有其镜像的状态(即手性),它沿着相反的方向旋转。
l  “D”表示二面(dihedral),这些物体在具有反射对称性的同时也具有旋转对称性。脚注的数字表示他们沿几条轴对称,当然啦,这也是他们选择对称的数量。
到这里一切似乎都很好理解是吗? 下面上难度啦~
四、格子镶嵌(Lattices)
格子镶嵌是一个点在空间中的重复模式,在这个点上,图形或者物体可以按照一定的与点的关系的方式被重复(更确切的说可以是平移、滑移反射、螺旋转动)。在一维中只有一种方式,二维中有5中,三维中有14种。
若要形成一种形式,一个二维的物体(这个二维物体可以包括上文中提到的二维物体的10种对称点集方式)可以沿着一维或者二维的方格网复制。一个二维的物体在一维的网格上重复形成了,七种饰带群(frieze group)中的一种。一个二维的物体在二维的网格上重复,形成了十七种平面对称群(wallpaper group)的一种。

图11

图12:七种饰带群(frieze group)

图13:十七种平面对称群(wallpaper group)
三维的样式将更为复杂,并且很少在晶体学以外的领域被使用。各种三维点集在不同的三维方格网中可以形成230种不同的空间群(space group)。当然三维的物体也可以在一维的网格上重复形成杆状群(Rod groups),或者在二维的网格上重复形成层状群(Layer group)。
如果您对230种空间群有兴趣请点击:
http://blog.sina.com.cn/s/blog_649586ae0100j8pb.html
五、分形(Fractals)
另外还有非常重要的在第四种变换下的的不变性:缩放。同心圆就是一个例子。当一个物体在平移、反射,旋转和缩放操作之后保持不变,它便形成了一种新的模式——分形。

图14:Mandelbrot

图15:Octal

图16:Magnet

图17:Barnsley
六、对称的建筑学意义
在苏联建筑科学院编制的《建筑构图概论中》,对称被作为最简单但最为重要又经济的协调手段。不难发现,在古典建筑中,对称式是非常常见的。从凯旋门到埃菲尔铁塔,从天坛到故宫,从金字塔到泰姬陵。对称在古典建筑中意味着庄严与神圣。

图18

图19

图20
而随着建筑学的发展,对称被赋予了除此之外的更强的生命力。在MAYA中,使用Mirror Cut我们可以在短短数分钟内通过不同轴的旋转对称,以某一个单体为重复单元作为突触,形成一个有机的复杂结构。

图21

图22:Maya MirrorCut
亦如Michael Hansmeyer从大自然细胞分裂一分为二的过程中,提炼出对称的方法。其实也就是我们对平面对折进行MirrorCut。他利用已经包含在已有造型里的信息,平面度、曲率、放射状等等,“将一个面的属性和它怎样被对称折叠联系起来,也正因为我设计的是方法而非造型,所以我能够一次又一次地使用这种方法,以此得到一个族系的造型”

图23:Michael Hansmeyer

图24:不难发现图中的复杂图形是由一个单体演变而来的(Steven Ma)
另一方面,在结构力学中,对称结构抵抗扭转变形的能力比非对称结构要大,因此,《建筑抗震设计规范》中规定:建筑及其抗侧力结构的平面布置宜规则、对称。 无论是中国的赵州桥还是西方Robert Maillart的Salginatobel 桥抑或是高迪的圣家堂,这些以结构生形的建筑中都蕴含着对称的法则。

图25:赵州桥

图26

图27:Salginatobel

图28:Sagrada-Familia

注:文章由胡雨辰(同济大学建筑与城市规划学院硕士研究生)编译自美国生命科学网。


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