摘要：莫比乌斯圈和克莱因瓶是拓扑学中最有趣的问题之一。莫比乌斯圈是一个迷人的几何表面，它只有一个边界和一个面，代表着可能性和永无休止的循环。克莱因瓶没有边界、只有一个面。莫比乌斯圈和克莱因瓶循环往复的特点和本身具有的独特美感，常常被用到美学、艺术和建筑设计领域，也应用于生活中的工业生产及其他方面。
关键词：莫比乌斯圈，克莱因瓶，拓扑学，美学，艺术，设计
既然谈到数学，首先我们先介绍一些严肃的背景知识。拓扑学是数学的一个分支，若有兴趣，移步前文《拓扑为何？》。
一、“假正经的”相关定义
1. 莫比乌斯圈（带/环）(Möbius strip/Möbius band)
莫比乌斯圈（带/环）(Möbius strip/Möbius band)，是一种单侧、不可定向的曲面，它是一种拓扑学结构，只有一个面（表面），和一个边界。由德国数学家、天文学家莫比乌斯(August Ferdinand Möbius,1790-1868)和约翰·李斯丁(Johhan Benedict Listing)在1858年独立发现。
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当然，最好的理解方法就是拿出一张纸带，将其扭转180°后再把两端粘接起来。这样就做出大名鼎鼎而又蕴藏奇妙的莫比乌斯圈了。在这个圈上，你可以一笔画完纸的两面并返回原先的起点，一只小甲虫也可以不翻越任何边界就爬遍小圈儿的所有部分。
2. 不能装水的瓶子——克莱因瓶
在数学领域中，克莱因瓶(Klein bottle)是指一种无定向性的平面（比如2维平面），没有“内部”和“外部”之分。在拓扑学中，克莱因瓶是一个不可定向的拓扑空间。一句话总结，这是一个封闭的（即没有边）曲面，但却只有一个面，表面永远不会终结。由德国著名数学家、几何学大家菲立克斯·克莱因 (Felix Klein,1849-1925) 于1882年发现。
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克莱因瓶的结构：就像一个花瓶的瓶颈被拉长之后似乎穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。
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虽然外观像一个“瓶子”，但实际上它不能算是严格意义上的“瓶子”。封闭的“瓶子”有内外之分，可以盛水，可以困住萤火虫。而克莱因瓶虽然也是封闭的、没有边，但却只有一个面（内壁和和外壁其实是一个连通的整体），没有内外之分。想象一下，一只在封闭的气球内部的蚂蚁必须要咬破气球才能逃到外面去，而一只在克莱因瓶“内部”的苍蝇却能在不穿过瓶壁的前提下轻而易举地飞出去。
3. 那拓扑学又是什么呢？
拓扑学(topology)，是近代发展起来的一个数学分支，研究的是几何形体在连续形变，精确地说，双方一一而且双方连续的变换（称为同胚）之下保持不变的性质。形式上讲，拓扑学主要研究“拓扑空间”在“连续变换”下保持不变的性质。哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。
4. 曲面的可定向（双侧）与不可定向（单侧）
以曲面上除边缘外的每一点为圆心各画一个小圆，对每个小圆周指定一个方向，称为相伴莫比乌斯圈单侧曲面圆心点的指向，若能使相邻两点相伴的指向相同，则称曲面可定向，否则称为不可定向。球面、圆柱面、环面都是可定向曲面，莫比乌斯圈是不可定向的。
二、克莱因瓶堪称莫比乌斯圈的“爸爸”
虽然莫比乌斯圈比克莱因瓶发现早了二十多年，可莫比乌斯圈还要给克莱因瓶喊“爸爸”，原因是后者比前者更高级更厉害（上升了一个维度），那么它们之间又有着什么样的联系与差异呢？
两句话总结，莫比乌斯圈是一个只有一条边界、一个表面的曲面，而克莱因瓶是一个永远找不到边界、只有一个表面、表面永远不会终结的曲面。
1. 两者的联系
(1) 由定义知，两者都是不可定向的、只有一个表面的曲面。
(2) 如果把两条莫比乌斯圈沿着它们唯一的边粘合起来，就得到了一个克莱因瓶（但是如果物体不进行自我交叉，这个步骤在三维空间内是不可能完成的）；对应地，如果把一个克莱因瓶沿着对称线剪开来，就能得到两条莫比乌斯圈。
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2. 两者的差异
(1) 莫比乌斯圈具有一条非常明显的边界，而克莱因瓶更加完美，自我封闭而没有边界。
(2) 莫比乌斯圈可以在三维的欧几里德空间中嵌入，克莱因瓶在四维空间才可能真正表现出来。后者表现在我们生活的三维空间中，就似乎是自己和自己相交一样（颈和瓶身相交）。换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。事实上，它的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的。通俗点讲，就是莫比乌斯圈的结构在三维空间里就可以看得很清楚，而要想看到真正的克莱因瓶结构，就要跑到四维空间。
三、“调皮而神秘的”魔术性质
莫比乌斯圈虽制作方法简单，却蕴藏着很多秘密。
1. 单侧性（不可定向性）
普通纸带具有两个面（一个正面，一个反面），两条边，而莫比乌斯圈却只有一个面、一条边。它最显著的特点就是——不用跨越面与面之间的分界线，就可以依次顺序地通连原来是相邻或相隔的各个面。
2. 循环往复、永无止境
正因为其一个面、一条边的特点，这个“小魔圈”处处表现出与普通小圈不同的地方。这里不得不提3个小实验，可以动手试试，感受莫比乌斯圈那种循环往复、永无止境的魅力。
(1) 如果把莫比乌斯圈沿中线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。这个圈的一端扭转了两次再结合，并是双面的。
(2) 如果再将大圈从中间剪开，就成为两个互相联套的纸圈，这两个圈都是双面的；将这两个圈继续沿中线剪开，每个圈又会成为具有正反两个面的两个联套的圈；依此永无止境……且所生成的所有的圈都将套在一起，永远无法分开。
(3) 如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，中间一份画上斜线，再粘成莫比乌斯圈，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点。剪开后，是一大一小两个相扣的圈，其中大圈是双面的，小圈是单面的。有趣的是，新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。
四、美学上的应用
1. 克莱因瓶别墅
克莱因瓶别墅是一栋位于澳大利亚摩林顿半岛的别墅。这栋海滨别墅由澳大利亚“McBride Charles Ryan”建筑师事务所所设计，曾获2009年度世界建筑节“最佳住宅”提名奖。
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这栋建筑物的设计灵感就来自于克莱因瓶，它看起来好像根本分不清楚哪里是内部，哪里是外部。当初，设计师的想法就是能够在房子中央建造一个小型院子，以保证整栋房屋的通风效果。这样正好完美地利用了“克莱因瓶”结构特点实现了设计师的初衷。
2. 莫比乌斯住宅
荷兰建筑师BenVan Berkel以莫比乌斯带为创作模型设计了这所著名的住宅，展现了独特的美感。
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莫比乌斯圈式建筑还有很多：
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3. 艺术作品
莫比乌斯圈为很多艺术家提供了灵感，比如美术家M.C.Escher，就将这个结构用在他木刻画作品里面，但这种曲面带的现象若由平面图画表达出来也毫不容易，1963年的《红蚁》便是这种题材的作品。
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4. 莫比乌斯带座椅
葡萄牙设计师与建筑师Pereira Migue将永无止境的循环特性融入于家具设计中，为贝纳通带来了United Colors座椅。
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5. 标志设计
莫比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，微处理器厂商Power Architecture的商标就是一条莫比乌斯圈，甚至垃圾回收标志也是由莫比乌斯圈变化而来。
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6. 长沙龙王港新桥
如缎带般优美柔和的人行桥，是Next建筑事务所为湖南长沙龙王港设计的一座体现传统文化的桥梁。其独特的莫比乌斯带（中国结）造型为坚毅的桥梁注入柔美气质。
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7. 莫比乌斯雕塑
世界各地遍布着以其为造型的雕塑，数不胜数。最有名的是位于美国华盛顿的史密斯森林历史和技术博物馆的莫比乌斯带钢制雕塑。
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8. 莫比乌斯环状楼梯
这种楼梯从外观上来说最大的特点便是从不同的角度观察便有不同的形态规律，结果从每个角度看过去都是完美的，兼具几何美和韵律美，人工美和自然美。
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9. 饰品设计
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五、其他方面的应用
1. 运用莫比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。
2. 1979年，美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成莫比乌斯圈形状，整条传送带两面均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。传统的传送带只用一面，很容易就把一面磨坏，如果做成莫比乌斯圈式的来回磨双面，就一下子提高了传送带的使用寿命。
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3. 针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带的全部表面，色带也常被设计成莫比乌斯圈。
4. 用于制造磁带，可以承载双倍的信息量。
5. 娱乐：在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车——它的轨道是一个莫比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。或者小区里设置这样的简单地游乐设备，让孩子们亲身体验莫比乌斯圈的循环特点，寓教于乐，感受科学魅力。
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6. 文学作品、动漫作品、电玩游戏：
(1) 科幻小说常常想象宇宙就是一个莫比乌斯带。亚瑟·克拉克的《黑暗之墙》。由A.J.Deutsch创作的短篇小说《一个叫莫比乌斯的地铁站》为波士顿地铁站创造了一个新的行驶线路，整个线路按照莫比乌斯带方式扭曲，走入这个线路的火车都消失不见。另外一部小说《星际航行：下一代》中也用到了莫比乌斯带空间的概念。
(2) 有一首小诗也描写了莫比乌斯带：数学家断言/莫比乌斯带只有一边/如果你不相信/就请剪开一个验证/带子分离时候却还是相连。
(3) 在日本漫画《哆啦A梦》中，哆啦A梦有个道具的外观就是莫比乌斯带，在故事中，只要将这个环套在门把上，则外面的人进来之后，看到的依然是外面。1988年在日本上映的动画电影《机动战士高达逆袭的夏亚》以莫比乌斯带作为对命运的隐喻：人类就好比行走在莫比乌斯带上的蚂蚁一般，永远逃不出这个怪圈，不断重复着相同的错误，类同的悲剧也在不断地上演。电影的主题歌BEYONDTHETIME(メビウスの宇宙を越えて) 亦呼应了这个主题（日文メビウス就是Möbius的意思）。
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(4) 在电玩游戏“音速小子——滑板流星故事” 中最后一关魔王战就是在莫比乌斯带形状的跑道上进行，如果你不打败魔王就会一直在莫比乌斯带上无限循环的跑下去……
六、结语：莫比乌斯圈和克莱因瓶本是拓扑学界的宠儿，却被生活中的美学、艺术、文学、建筑等其他领域捕捉发现并继续释放其魅力。尽管已经有不少应用，但它们的实际作用还待继续发掘，希望未来能看到蕴藏着科学奇妙的“魔圈”和“魔瓶”能以更加新颖的形式、更广泛能应用于我们的生活中。
参考文献：
[1] 莫比乌斯圈——维基百科
[2] 克莱因瓶——维基百科
[3] 《魔带的世界——莫比乌斯圈的秘密》
[4] 莫比乌斯带座椅 ：http://www.fynews.net/article-58838-1.html
[5] 埃舍尔(M.C.Escher)：错乱的空间 ：http://www.qunxue.net/Article/TypeArticle.asp?ModeID=1&ID=3816
[6] 电影《莫比乌斯》：http://dianying.cntv.cn/2013/09/02/VIDA1378108473992962.shtml
[7] “莫比乌斯圈”的特性：http://blog.gxnews.com.cn/u/20163/a/133671.html
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