从刚开始上高等代数时就发现要跟很多空间打交道，而且越到后面会接触越多的空间。
比如我们最熟悉的空间——向量空间，中学时候就和它有说不清的爱恨情仇，那个时候向量空间指的就是所有有方向的线段构成的，而后的向量空间（现在也称线性空间）指的是满足那八条性质的集合，失去了以前的直观性，但是它向抽象空间进了一步，也就意味着有更大的研究潜力。
图1：向量空间的现代定义
这个时候向量空间里的向量就能看成是“集合中规定了运算的点”。如果给这些“点”定义距离，那么这个空间就变成了“距离空间”；如果给这些点定义内积，就变成了“内积空间”；如果给这些点定义范数，就变成了“赋范空间”……
图2：各种空间
由此会发现一个规律，我们遇到的那些空间的本质其实是“集合+结构”，“集合”也就是我们要研究的对象，“结构”就是给这个对象赋予一些性质（如加法运算）。有了第一步的抽象后，就可以为更深层次的研究提供基础。
将直观的对象进行抽象化，这是一种对事物本质的一种洞察能力，它往往是推动数学发展的内在动力，最富创造性的数学家黎曼（就是提出黎曼猜想的那位）在1845年提出的“流形”概念，实际上就把欧式空间的发展向前推动了几十年，在此基础上发展出了新的几何学研究，更是激发了多位菲尔兹奖得主的诞生：J.Milnor在这里发现了7维怪球以此获揽下1962年的菲尔兹奖，丘成桐因证明了其中的卡拉比猜想而获得了1982年的菲尔兹奖……
题图就是卡拉比—丘流形。
所以说数学里为什么要定义各种空间呢。
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