复数(Complex)作为实数的拓展历史悠久，一度曾被叫做子虚乌有的数(imaginary)，直到十八世纪初经过棣莫弗及欧拉大力推动，才被数学家们渐渐接受。
确实理解复数确实需要一点时间，不过它并不复杂，而且利用它还能画出非常美丽的变换和分形图形。请看下面【遇见数学】翻译小组带来的《复数及复变函数动画解析》：
视频1：（视频来源：youtube.com/watch?v=bIY6ahHVgqA；【遇见数学】翻译小组）
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一、复数，作为实数理论的延伸
先来看看在实数轴上两个数的加减乘除这 4 种运算。观察到红蓝两个点（数），在不同的计算下，其结果（绿点）的变化，不管数怎样变化，都总还落在数轴上（除法分母为 0 时候，当然没有意义）。
图1
再来看下图中，任何实数乘以 -1 的结果都会落在关于原点对称相应的位置上。所以乘以 -1 的计算可以理解为该点（数）绕着原点旋转了半圈。
图2
数学家进一步思考，既然乘以 -1 是转动 180°，那么只转动了 90°（比如整数 1）落在哪里？有什么意义呢？
二、进入新的二维复数平面
这是19世纪数学史上非常重要的一步，现在已经逃离了一维实数轴的束缚，而是进入了新的陌生的二维复平面。
考虑到转动两个 90°会刚好到 -1。所以认为 -1 的平方根是相应于 1 的一个 90度的旋转（也就是 1 * I * I = -1），这样在平面上与实数轴垂直的单位线段，称为是 1 个虚数单位i。于是有着性质：
这个没在实数轴上奇怪的点实际上落在复数平面（complex plane，或称为阿尔冈平面）上了，所有在复平面上的数都满足z = a + bi 这样的结构，称之为复数。其中a 称为实部(real part)，b 为虚部(imaginary part)。如下图 1 + 2i 复数，1 和 2 是实数，i 是虚数单位，这样的复平面几何表示如下图所示：
图3
现在来看直角坐标平面是二维的，需要两个数(x,y)来描述任意一点的位置，但现在用一个复数就够了，可以用实数组(a,b)代表这个复数，并且可以在复平面上绘制出来。不过请记住这里应该将每个这样的点看做一个复数，而不是一对实数。
还有三个新概念需要知晓：
复数的模（modulus，通常写为|z|）
辐角（argument，通常写为arg(z)）
复数的共轭（conjugate，通常写为下面形式）
复数的模就是它长度 r：从原点到 z 点之间的距离；辐角φ就是与正实轴的夹角；共轭就是a - bi 的形式。观察下图可以更好理解：
图4
三、复数的运算操作
复数有那些运算，比如可以两个复数相加，也就是两个复数实部和虚部分别对应相加，可以看成是平移的操作。
图5
复数也可以有数乘运算，就是对模的放大或缩小了：
图6
复数的乘法，就如上面所述，数乘以 i 相当于这个转动 90°：
图7
z1 * z2 两个复数相乘其实就是旋转 + 伸缩两种变换，也就是两个复数的模相乘（伸缩大小），辐角相加（旋转量）。
图8
如果对图片中的每一点做复数运算的变换，可以得到各种有趣的平面变换图像。这里为了纪念欧拉大神，就以他老人家头像为例，比如做乘以2i 的函数变换 - 旋转 90°，同时放大了2 倍的变换；另一个变换函数为三次方，你也可以思考为什么会变成这个形状呢？
图9
四、最美的数学公式——欧拉公式
复平面内的点可以转成极坐标的形式 (r,θ)，那么该点所表示的复数是什么呢？可用 x = rcos(θ) 和 y = rsin(θ) 来转化到笛卡尔坐标。所以极坐标 (r,θ) 表示复数
z = x + iy = rcos(θ) + irsin(θ)。
特别的，如果 r = 1，则 z = cos(θ) + isin(θ)。
形如 re^(iθ) 的复数为极坐标形式，并且与之相对的 x + iy 为笛卡尔形式。1743年，瑞士数学家欧拉给出了著名的欧拉公式，对所有实数 θ 都成立：
特别当 θ=π 时，欧拉公式的特殊形式更是被评为数学上最美的公式：
这个简洁公式包括了 5 个数学上最重要的常数：0，1（自然数的基本单位），e（描述变化率的自然指数），π 以及 i（虚数的基本单位）。
我们可以很快用几何的方法来证明该等式，观察下图不同的 θ 值对应的极坐标 e^θ，请留意动画停顿之处（特别是在复平面旋转角度为 180°，点落到等于 -1 的时刻），相信就会理解上面的欧拉等式：
图10
关于复数，推荐进一步查看这里台大单维彰教授所讲解的《文化脉络中的数学》——【从复数开始的科技文明】部分，相信会有一定会有更多的收获。
参考资料：
[1] https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/
[2] 阿德里安·班纳《普林斯顿微积分读本》（修订版）
[3] 维基百科
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