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什么是数学模型?

摘要:随着科学技术的迅速发展,数学与其他学科之间的新的联系不断涌现,数学模型已越来越受到人们的关注,成为人们对各门科学进行量化分析的一个主要手段。例如在技术领域,从卫星到核电站,从天气预报到家用电器,高技术中的高精度、高自动、高质量和高效率等特点,都是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算控制来实现的。那么什么是数学模型呢,小编接下来将从数学模型的定义、分类和特点等方面为你介绍数学模型。


一、定义
数学模型是用符号、函数关系将评价目标和内容系统规定下来,并把互相间的变化关系通过数学公式表达出来。
二、分类
数学模型可以按照不同的方式分类,下面介绍常用的几种。
1. 按照模型的应用领域(或所属学科)分
如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等。范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等。
2. 按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分
如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等。
按照第1种方法分类的数学模型教科书中,着重于某一专门领域中用不同方法建立模型,而按第2种方法分类的书里,是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用。
3. 按照模型的表现特性又有几种分法
(1) 确定性模型和随机性模型:取决于是否考虑随机因素的影响。近年来随着数学的发展,又有所谓突变性模型和模糊性模型。
(2) 静态模型和动态模型:取决于是否考虑时间因素引起的变化。
(3) 线性模型和非线性模型:取决于模型的基本关系,如微分方程是否是线性的。
(4) 离散模型和连续模型:指模型中的变量(主要是时间变量)取离散还是连续的。
虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的,但是由于确定性、静态、线性模型容易处理,并且往往可以作为初步的近似来解决问题,所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型。连续模型便于利用微积分方法求解,作理论分析,而离散模型便于在计算机上作数值计算,所以用哪种模型要看具体问题而定。在具体的建模过程中将连续模型离散化,或将离散变量视作连续,也是常采用的方法。
4. 按照建模目的分
有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
5. 按照对模型结构的了解程度分
有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。这是把研究对象比喻成一个箱子里的机关,要通过建模来揭示它的奥妙。
(1) 白箱主要包括用力学、热血、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题,这方面的模型大多已经基本确定,还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了。
(2) 灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象,在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做。
(3) 黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象。有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理,但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理。
当然,白、灰、黑之间并没有明显的界限,而且随着科学技术的发展,箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的。
三、特点
1. 目的性
人们建立的数学模型总是为了某一特定目的的,否则就毫无意义。人们的目的不外乎是利用数学模型来描述或分析特定对象的现象与规律、预测所研究对象的发展趋势、对事物的运行作出控制与决策等。
2. 多样性
对于同一事物,出于不同的目的,可以建立不同的数学模型。即使是对于同一问题,同一目的,由于使用的方法不同、所做的假设不同,也可以建立不同的数学模型。只要所建立的模型能够解决问题,该模型就是好的。我们判断数学模型好坏的标准,不是所使用的数学方法是否高深,而是该模型是否符合实际,是否能解决实际问题。
3. 逼真性和可行性
模型与原型要求尽可能地逼真,但完全逼真则几乎是不可能的,并且一个太逼真的模型在数学上常常是难于处理的,不一定能达到预期的建模目的,既不可行。另外,越逼真的模型常常“费用”也越高。所以在实践中所建立的模型只要能达到预期应用目的,可行就够了,不必刻意追求十全十美。
4. 渐进性
对于较为复杂的问题,往往需要多次由简到繁,由繁到简的反复迭代才能建立令人满意的模型。在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高,各门学科中的数学模型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程,其中一个明显的例证是力学从19世纪占统治地位的牛顿力学到20世纪的爱因斯坦相对论模型的建立。
5. 强健性
模型的结构和参数常常是由对象的信息如预测数据确定的,而观察数据是允许有误差的。一个好的模型应该具有下述强健性:当观测数据或其他信息有微小改变时,模型结构和参数只有微小变化,模型的求解也只有微小变化。
6. 可转移性
模型是原型的抽象化、理想化的产物,它不为对象的所属领域所独有,可以转移到另外的领域。如某些传染病扩散模型,也适用于生物种群的增长、新产品销量的增长等方面。
7. 非预制性
虽然已经发展了许多应用广泛的模型,但是实际问题是各种各样、变化万千的,不可能要求把各种模型做成预制品供你在建模时使用。模型的这种非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题(Open—end problem)。在建立新的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生。
8. 条理性
从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具条理性,这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用的程度,对问题的研究也是有利的。
9. 技艺性
建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划解法等是根本不同的,无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧。有人说,建模目前与其说是一门技术,不如说是一种艺术,是技艺性很强的技巧。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起到的作用往往比一些具体的数学知识更大。
10. 局限性
这有3层意思:第1,由于在建模过程中忽略了一些次要的因素,模型结论的精确性是近似的,通用性是相对的;第2,由于人的认识的局限性、技术的局限性、数学水平本身的限制,以致仍有大量的实际问题得不到或很难得到有实用价值的数学模型;第3,还有些领域中的问题至今尚未发展到用建模的方法寻求数量关系的阶段,如中医诊断过程。
四、基本起源
数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的,我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂。经过20多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座,为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径。

 

参考资料:
[1] 杨学桢:《数学建模方法》
[2] 姜启源:《数学模型》
 

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