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数学模型案例——动物的身长与体重问题

在生猪收购站或屠宰场工作的人们,有时希望由生猪的身长估计它的体重。试建立数学模型讨论四足动物的躯干的长度(不含头、尾)与它的体重的关系。
一、问题分析
众所周知,不同种类的动物,其生理构造不尽相同,如果对此问题陷入对生物学复杂生理结构的研究,就很难得到我们所要求的具有应用价值的数学模型并导致问题的复杂化。因此我们舍弃具体动物的生理结构讨论,仅借助力学的某些已知结果,采用类比方法建立四足动物的身长和体重关系的数学模型。
类比法是依据两个对象的已知的相似性,把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去,从而获得另一个对象的性质的一种方法。它是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法,而不是一种论证的方法,它是建立数学模型的一种常见的、重要的方法。
类比法的作用是启迪思维,帮助我们寻求解题的思路,而它对建模者的要求是具有广博的知识,只有这样才能将你所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系。
二、模型假设与求解
我们知道对于生猪,其体重越大、躯干越长,其脊椎下陷越大,这与弹性梁类似。
为了简化问题,我们把动物的躯干看作圆柱体,设其长度为l、直径为d、断面面积为S(如图1)将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁,这样就可以借助力学的某些结果研究动物的身长与体重的关系。

图1
三、模型评注
在上述模型中,将动物的躯干类比作弹性梁是一个大胆的假设,其假设的合理性,模型的可信度应该用实际数据进行仔细检验。但这种思考问题、建立数学模型的方法是值得借鉴的。在上述问题中,如果不熟悉弹性梁、弹性力学的有关知识,就不可能把动物躯干类比作弹性梁,就不可能想到将动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题,转化为已经有明确研究成果的弹性梁在自重作用下的挠曲问题。
在中学数学中,通过类比推测或联想而发现新命题、新解法并不少见。诸如,由分数的性质类似地推测分式的性质;由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系;由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法,推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等。

图2

图3


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