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什么是数学建模?

摘要:上次为大家介绍完数学模型后,大家也许会好奇用处辣么大的数学模型是怎么来的,而本文就是跟大家介绍得到数学模型的方法——数学建模。
其实数学建模的我们很小就开始接触,比如大家熟悉的鸡兔同笼问题,“鸡兔同笼问题”是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题,其内容是:“今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问雉兔各几何。” 《孙子算经》用算术方法来解的,而现在都采用列方程来做,方程就是数学模型,有了方程我们不止可以解决鸡兔同笼的问题,猪狗同笼也可以解决啦,哈哈,开玩笑的,就是说类似的问题我们都可以用方程解决啦。
一、定义
以解决某个实际问题为目的,经过简化,从中抽象归结出来的数学问题就是该问题的数学模型,这个过程称为数学建模。国防科技大学吴孟达教授指出数学建模的定义可以表述为:通过合理抽象与简化,用“定量化”的语言或结构描述自然现象中的内在规律。
二、方法
1. 机理分析法
机理分析是根据对客观事物特性的认识,找出反映内部机理的数量规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义。
(1) 比例分析法——建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。
(2) 代数方法——求解离散问题(离散的数据、符号、图形)的主要方法。
(3) 逻辑方法——是数学理论研究的重要方法,适用于解决社会学和经济学等领域的问题,在决策、对策等学科中得到广泛的应用。
(4) 常微分方程——是研究两个变量之间的关系或一个变量随另一个变量变化的规律的重要工具,关键是对“变化率”的假设与推导。
(5) 偏微分方程——解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。
2. 数据分析法
数据分析法就是从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。
(1) 回归分析法——用于对函数\(f\left ( x \right )\)的一组观测值\(\left ( x_{i} ,f_{i}\right )\)\(i= 1,2,...,m.\)确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故常称为数理统计方法。
(2) 时序分析法——处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法。
3. 仿真和其他方法
(1) 计算机仿真(模拟)——实质上是统计估计方法,等效于抽样试验。
① 离散系统仿真——常以一个或一组状态变量来表示系统的状态。
② 连续系统仿真——常用微分方程、状态方程、传递函数以及系统的结构图等形式来表示。
(2) 因子试验法——在系统上作局部试验(而且可以重复地做),根据试验结果来进行分析求得所需模型结构。
(3) 人工现实法——基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标,并考虑到系统有关因素的可能变化,人为地组成一个系统。
三、一般步骤
建模要经过哪些步骤并没有一定的模式,通常与问题性质、建模目的等有关。下面介绍的是机理分析方法建模的一般过程,如下图所示。

图1:数学建模步骤
1. 模型准备
了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必要的信息如现象、数据等,尽量弄清对象的主要特征,形成一个比较清晰的“问题”,由此初步确定用哪一类模型,情况明才能方法对。在模型准备阶段要深入调查研究,虚心向实际工作者请教,尽量掌握第一手资料。
2. 模型假设
根据对象的特征和建模目的,抓住问题的本质,忽略次要因素,作出必要的、合理的简化假设。对于建模的成败这是非常重要和困难的一步。假设作得不合理或太简单,会导致错误的或无用的模型;假设作得过分详细,试图把复杂对象的众多因素都考虑进去,会使你很难或无法继续下一步的工作。常常需要在合理与简化之间作出恰当的折中。通常,作假设的依据,一是出于对问题内在规律的认识,二是来自对现象、数据的分析,以及二者的综合。想象力、洞察力、判断力以及经验,在模型假设中起着重要作用。
3. 模型构成
根据所作的假设,用数学的语言、符号描述对象的内在规律,建立包含常量、变量等的数学模型,如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图的模型等。这里除了需要一些相关学科的专门知识外,还常常需要较为广阔地应用数学方面的知识。要善于发挥想象力,注意使用类比法,分析对象与熟悉的其他对象的共性,借用已有的模型。建模时还应遵循的一个原则是:尽量采用简单的数学工具,因为你的模型总是希望更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏。
4. 模型求解
可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法,特别是数学软件和计算机技术。
5. 模型分析
对求解结果进行数学上的分析,如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等。
6. 模型检验
把求解和分析结果翻译回到实际问题,与实际的现象、数据比较,检验模型的合理性和适用性。如果结果与实际不符,问题常常出在模型假设上,应该修改、补充假设,重新建模,如上图的虚线所示。这一步对于模型是否真的有用非常关键,要以严肃认真的态度对待。有些模型要经过几次反复,不断完善,知道检验结果获得某种程度上的满意。
7. 模型应用
应用的方式与问题性质、建模目的即最终的结果有关。
应当指出,并不是所有问题的建模都要经过这些步骤,有时各步骤之间的界限也不那么分明,建模时不要拘泥于形式上的按部就班。
四、重要意义
数学,作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学,在它产生和发展的历史长河中,一直是和人们生活的实际需要密切相关的。作为用数学方法解决实际问题的第一步,数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里得几何,17世纪牛顿发现的万有引力定律,都是科学发展史上数学建模的成功范例。
进入20世纪以来,随着数学以空前的广度和深度向一切领域的渗透,以及电子计算机的出现与飞速发展,数学建模越来越受到人们的重视,可以从以下几个方面来看数学建模在现实世界中的重要意义。
1. 在一般工程技术领域,数学建模仍然大有用武之地
在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中,数学建模的普遍性和重要性不言而喻。虽然这里的基本模型是已有的,但是由于新技术、新工艺的不断涌现,提出了许多需要用数学方法解决的新问题;高速、大型计算机的飞速发展,使得过去即便有了数学建模也无法求解的课题(如大型水坝的应力计算,中长期天气预报等)迎刃而解;建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术,以其快速、经济、方便等优势,很大程度上替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。
2. 在高新技术领域,数学建模几乎是必不可少的工具
无论是发展通信、航天、微电子、自动化等高新技术本身,还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品,计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件,已经被固化于产品中,在许多高新技术领域起着核心作用,被认为是高新技术的特征之一。在这个意义上,数学不再仅仅作为一门科学,是许多技术的基础,而且直接走向了技术的前台。国际上一位学者就提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点。
3. 数学迅速进入一些新领域,为数学建模开拓了许多新的处女地
随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透,一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。这里一般地说不存在作为支配关系的物理定律,当用数学方法研究这些领域中的定量关系时,数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与也能够用的基础。
在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大,为数学建模提供了广阔的新天地。马克思说过:“一门科学只有成功地运用数学时,才算达到了完善的地步”。21世纪,数学必将大踏步地进入所有学科,数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。
今天,在国民经济和社会活动的以下诸多方面,数学建模都有着非常具体的应用。
(1) 分析与设计
例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效;建立跨音速流和激波的数学模型,用数值模拟设计新的飞机翼型。
(2) 预报与决策
生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长预报等,都要有预报模型;使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案,都是决策模型的例子。
(3) 控制与优化
电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化,要以数学模型为前提。建立大系统控制与优化的数学模型,是迫切需要和十分棘手的课题。
(4) 规划与管理
生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度,以及排队策略、物资管理等,都可以用数学规划模型解决。
数学建模与计算机技术的关系密不可分。一方面,像新型飞机设计、石油勘探数据处理中数学模型的求解当然离不开巨型计算机,而微型电脑的普及更使数学建模逐步进入人们的日常生活。比如,当一位公司经理根据客户提出的产品数量、质量、交货期等要求,用笔记本电脑与客户进行价格谈判时,你不会怀疑他的电脑中贮存了由公司的各种资源、产品工艺流程及客户需求等数据研制的数学模型——快速报价系统和生产计划系统。另外一方面,以数字化为特征的信息正以爆炸之势涌入计算机,去伪存真、归纳整理、分析现象、显示结果……,计算机需要人们给它以思维的能力,这些当然要求助于数学模型。所以把计算机技术与数学建模在知识经济中的作用比喻为如虎添翼,是恰如其分的。
美国国家科学院一位院士总结了将数学科学转化为生产力过程中的成功和失败,得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论,认为数学“由研究到工业领域的技术转化,对加强经济竞争力具有重要意义”,而“计算和建模重新成为中心课题,它们是数学科学技术转化的主要途径”。

 

参考文献:
[1] 杨学桢:《数学建模方法》
[2] 齐欢:《数学模型方法》
[3] 姜启源:《数学模型》


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