古今建筑中的数学思想

Posted By 中国数学会通讯 - October 27, 2017 1177 0 0

摘要：从古至今，美轮美奂的建筑蕴含着深刻的数学思想——数学比例理论和数学元素，文章举出经典的代表性建筑作为例子来逐一剖析，带大家领略体现在建筑中的“数学之美”。
建筑是人类生存的基本活动之一。建筑也是所有人生戏剧或故事的最重要的舞台。哲学家赵鑫珊说：“建筑是建筑师从大自然中派生出来的或暂时借来的空间；是一种‘加工’过的自然。”
从古至今，美轮美奂的建筑，就像一部部记载着时代变迁的史书，展示着每个时代的政治、经济、文化、技术、艺术和哲学，当然，也蕴含了深刻的数学思想。
一、建筑中的数学比例理论
千百年来，数学思想为建筑设计提供着一种独特的智力资源，也是建筑师用于设计和构图、减少试验成本、消除技术差错的一种工具和手段。
古典建筑的思想是建立在理性的、数字比例基础上的。毕达哥拉斯认为：数是宇宙的核心。“万物皆数”。建筑作为一种人造物，理所应当反映宇宙的规律，而宇宙是由数学法则控制的。
理查德·帕多万曾写道：我们作为自然的一部分，与自然有着天生的亲和力，并且具有认识和解释自然的能力。从毕达哥拉斯以来，数学家和哲学家所争论的问题直接影响着建筑的风格。
一种看法是——数学是自然所固有的，并通过人的理性“提炼”出来的。数学并非知识的工具，而是其目标；不是手段，而是目的，研究数学的主要目的是透过事物变幻的表象，使这种本质展现出来。基于这种“数学”的思想，形成了所谓自然主义的建筑风格。
另一种观点是——数学是人们为了测量自然而强加于自然的一种人类精神的产物，是一种纯粹的人造物，一种符号体系，以及操纵它们的规则。基于这种“数学”的思想，形成了抽象主义的建筑风格。
比例理论认为，建筑是一种具有数学和谐的抽象艺术，它源自黄金分割和人体。建筑作品虽然基于不同的数学原理，但都强调符合比例的要求。如何以一种方式强调1与2之间的区别，使所获得的数列具有加法和乘法属性，从而产生秩序和复杂性。黄金分割只是这一原理的特例。
把任一线段分割成两段，大段长与全段长的比等于小段长与大段长的比，由此产生的比值0.618叫黄金比。在自然界的树木、花朵、蔬菜的枝杈、花瓣、叶茎之间隐藏着一个角度：137.5度，叫做黄金角，该角度可以使植物最好地进行光合作用。

图1：埃菲尔铁塔享有“钢铁维纳斯的美誉”
勒·柯布西埃说：“巴特农给我们带来确实的真理和高度数学的感受”。古希腊的巴特农神殿的塔高与工作厅高之比为0.615，接近黄金分割数。古埃及的金字塔棱锥的底面大，重心低，推不倒，震不垮，历经几千年，风霜雨打，地震海啸，巍然屹立，蕴含了数与形的真谛，有着严格而精确的比例设计。金字塔高度大约有今天的40多层楼高，这项当年最高建筑物的世界纪录，保持了4500多年，直到1889年，才被300米高的法国埃菲尔铁塔所超过。埃菲尔铁塔在距离地面57米、115米和276米处，各建有一个平台，高度设计中的比例为0.617，与黄金比0.618十分接近。埃菲尔铁塔享有“钢铁维纳斯”的美誉（见图1），因为女神维纳斯的身材符合黄金比。
中国古代建筑的传统审美观点是庭院为中心。把紫禁城太和殿放在中轴线上从大明门到景山这个尺度上衡量时，从大明门到景山的距离是2.5公里，从大明门到太和殿的庭院中心是1.5045公里，两者的比值为0.6018。虽然这种数字似乎并不是受了西方文化的影响，但却说明了人类对美的追求有着共通的理念，黄金分割比有着天人合一的合理性。
在紫禁城最重要的宫殿太和殿里，太和门庭院的深度为130米，宽度为200米，长和宽之比为0.65，接近黄金分割比。

图2
在西方追求比例美的建筑历程中，中国建筑的木结构还体现了严谨而完整的模数系统，达到了高度的标准化和通用性。模数系统从数学上讲就是按某种比例和规律组合成的数系。
李允鉌先生在他著名的《华夏意匠》一书中指出：“至今为止，世界上真正实现过建筑设计标准化和模数化的只有中国的传统建筑”。
建筑模数是在建筑设计中，为了实现规模生产，使不同材料、不同形式和不同制造方法的建筑配件、组合件具有一定的通用性和互换性，统一选定的协调建筑尺度的增值单位，即指选定的尺寸单位。建筑模数已经成为古今建筑所遵循的重要依据。
比例是美好的，因为它们与自然的规律是一致的。所有较高的文明都相信一种基于数和数之关系的秩序，并且在普遍的、宇宙的概念与人类生活之间寻找和建构一种和谐，这通常是一种想象的和神秘的和谐。
意大利文艺复兴时期的建筑师和建筑理论家阿尔伯蒂(1404-1472)在《建筑十书》的第九书中写到：“自然所创造的一切事物都受到和谐法则的控制，她主要关注的是她所创造的一切应当是绝对完美的。”
勒·科布西耶（1887年10月6日—1965年8月27日）在《模度》里强调：“数学规律不仅仅是对美的一种规定，甚至也不是人类用来理解世界的手段，而是宇宙自身的核心或主导性原理，自然的、艺术的，统一与和谐之源。”
赫尔曼(1932-)在《对称性》一书里指出：“一种隐匿的和谐存在于自然，它以一种简单的数学规律的图像，投射到我们的大脑之中。数学分析和观察的结合之所以能够对自然中所发生的事件进行预测，原因即在于此。”
比例的思想从古希腊时期开始始终占据建筑的统治地位。直到牛顿发表了万有引力定律后，比例理论受到质疑。近4个世纪以来，数学领域取得了巨大进步。但是，经典的比例理论为建筑所提供的尺度感、秩序感，仍然是建筑设计重要的造型手段和建筑师的灵魂之源。

图3：西班牙毕尔巴鄂古根海姆美术馆分馆
二、古今建筑中的数学元素
古今的建筑设计中，下列数学概念常为建筑师所用。棱锥、角、棱柱、比例、黄金分割、抛物曲线、悬链线、立方体、双曲抛物面、多面体、短程式圆顶、三角形、毕达哥拉斯定理、螺线、正方形、矩形、平行四边形、圆、半圆、弧、球、椭球、半球、多边形、排列、组合、对称、动态对称、最大、最小等。其中，圆、半圆、弧、球、椭球、半球及其变化成为古代建筑主流的数学思想，并运用于各种建筑中。
巴特农神庙的构造用到了比例、黄金矩形、视幻觉、精密测量以及按准确的规格切割圆柱（直径为柱高的三分之一）。
古罗马时期的建筑，继承了古希腊文明成果。充分运用了对称、半圆形拱券、逐层挑出的门框、装饰、交叉拱顶结构。
拜占庭时期的建筑师们将正方形、圆、立方体和带拱的半球等概念，优雅地组合起来。
文艺复兴时期（公元1300年—1600年），韦达的符号代数学、雷格蒙塔努斯的三角学、笛卡儿的解析几何学、费马的极值和数论思想、帕斯卡的概率论基本原则，以及绘画的透视法，使多才多艺高雅博学的建筑师，基于对中世纪神权至上的批判和对人道主义的肯定，希望借助古典的比例，建造反映社会和谐与秩序的建筑。这个时期，建筑对秩序和比例有着强烈的追求，使用大量对称、集中式“恢复”自然、用尺规作图和制图、以圆形和正方形为主。
现代建筑中，利用拓扑等价性，通过连续变形，使每个基本模式产生了无穷无尽的变化。通过计算机算法、拓扑等价的连续变形等现代数学思想，建筑造型更加多姿多彩、无与伦比。
所谓拓扑等价，就是通过连续变形（不破损、不粘合），将其中的一个变成另外一个。长方体与球拓扑等价；方框与环拓扑等价；圆柱与四棱台拓扑等价。
巴黎的德方斯大门的空心方框拓扑等价于环。位于西班牙的毕尔巴鄂古根海姆美术馆分馆（见图3）的各个块都经过拓扑变形，利用计算机进行了复杂而精确的计算。
运动中对称的思想也被运用到建筑设计中。这些运动都是变换。这些变换共同的特点是：保持平面上任意两点间的距离不变。反射、旋转、平移，以及它们的相继实施，统称为“保距变换”。
三、建筑美和数学美的一致性
建筑美是“可视的”，什么是数学之美？
罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且有至高的美，这是一种庄重而严格的美，这种美不是投合于我们天性中微弱的方面，而是以纯净到崇高的地步，能够达到严格且只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。”
阿尔菲诺·劳达尔说：“数学不仅仅是数字，它更是艺术。在没有被表达出来之前，大多数数学概念不是建立在逻辑基础上的，而是直觉与美。”
所谓美就是其所有的各个构成部分都均匀、不能再增减一笔或者改变半分。
1. 简洁之美
数学如诗，建筑如诗。诗，用最少的语汇表述天、地、人间最大量的思想和感情；一幅画，就是要在有限的画面上表达最多的情感和事物；建筑，是一种能够最终归结为数学的简约艺术。数学追求简洁，建筑追求简约。正所谓“大道至简。”
2. 自然之美
万物，是指自然。在今天数字化、数学化的时代，数学思想不仅是数学家的灵魂，也是建筑学家的灵魂。
无论是古典主义，还是现代主义，无论是自然主义，还是抽象主义，建筑师正是从自然获得灵感，才创造出今天的绿色建筑、生态建筑和智能建筑。正所谓“大美天成。”
荷兰鹿特丹的城市仙人掌绿色建筑，错落有致的曲线阳台像开放的花瓣，由于符合黄金角，使得每个单元都能够得到足够的阳光。

图4：鹿特丹的城市仙人掌
3. 抽象之美
抽象就是对某类事物共性的描述，是认识复杂现象过程中使用的思维工具，即抽出事物本质的共同特性而暂不考虑它的细节，不考虑其他因素。
抽象是人类高度智慧的产物。数学是抽象的。建筑也是抽象的。比如，圆、矩形、拓扑等价的连续变形等这些抽象的概念常为数学和建筑所共用。

图5：英国格拉斯哥凯文葛罗夫艺术博物
4. 结构之美
美国建筑大师赖特说：“建筑是用结构来表达‘思想’的‘科学’性‘艺术’”。结构本身就富有美学表现力。
模型是为了某种特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而得出的对原型的模拟或抽象，是帮助人们进行合理思考的工具。模型必须能够反映问题的某些特征和要素。模型在人类生活、科学技术、工程实验中具有重要作用。数学中有数学模型，建筑中有建筑模型，它们都是便于解决问题的结构。数学模型针对现实世界的特定对象，为了一定目的，进行必要的简化和假设，运用数学的符号、关系式等，概括表达问题的数量关系和空间形式。
为了达到美的目的，各种结构都是按一定的规律组成的。这种规律性不仅具有简化、合理的特征，还具有美学的效果，极富变化的韵律感和节奏感。从这个意义上说，数学模型和建筑模型的结构美具有许多相似的特征。美国现代建筑学家托伯特·哈姆林对现代建筑结构美提出的法则包括：统一、均衡、比例、尺度、韵律、布局中的序列、规则的和不规则的序列设计等。
数学的许多公式都是对称的、和谐的。把函数差商和导数联系起来的拉格朗日中值定理的结构很美；著名的欧拉公式的结构更是妙不可言，把有理数1、负数、纯虚数、重要无理数和联系在了一起；而概率积分公式揭示的则是无理数和的又一种联系。建筑美和数学美都恰到好处地体现了与世界之普遍和谐的一致。
四、从数字建筑到未来建筑
数学科学的发展，给建筑提供着强大的技术基础。今天的世界是“数字的”。美国学者Brian Kernighan教授指出：“很多现代的技术都是数字的，外部世界的数据都会转化为数字形式。”随着数字技术的发展，数字化已经渗透到建筑过程的每个阶段。建筑对数字技术的依赖越来越明显，已经实现用电脑进行绘图，将人工智能应用到建筑设计之中。
数字建筑是“高技术和高速度建筑”的代名词，其核心是充分利用现代数字化技术进行建筑设计与建造。计算机数字系统使处理大量的建筑数据资料变得快捷而低成本。建筑软件成为思考与理念的媒介。
数字建筑的设计过程是：从建筑设计的起点开始，对周边环境特征、人的活动行为等信息进行数据采集和整理，进行数字化描述，这些信息成为计算机参数化的依据，成为建筑形态形成的基础；有了基本的设计参数关系后，可以通过相应的计算机软件建立参数模型、找到某种参数关系并生成建筑形体。非线性数学研究产生了非线性建筑，分形、折叠、拓扑等形态也融入到数字建筑中。

图6：中国广州歌剧院
曾经攻读数学系的世界著名建筑设计师扎哈·哈迪德的建筑设计运用了数学中扭曲概念，用扭曲现实挑战地心引力。哈迪德在2004年获得世界顶尖建筑大奖普利策奖，意大利米兰的外形扭曲的写字楼、中国广州歌剧院、德国斯特拉斯堡电车站、丹麦哥本哈根艺术博物馆、美国辛辛那提艺术博物馆、伦敦2012奥运会水上运动中心等建筑作品，都出自哈迪德之手。

图7：伦敦2012奥运会水上运动中心
哈迪德的现代主义作品，基于新的结构、新的视点，诠释新的认知并转化为现存造型的重组。她的建筑思想向人们展示的是原野如何越过山丘、洞穴如何蔓延展开、河流如何蜿蜒流淌、山峰如何引领方向。她所追求并塑造的是具有对立统一的从自然环境中产生的空间。她说，当你调动一组几何图形时，你便可以感受到一个建筑开始形成并运动起来。美国建筑资深评论员艾达·路易斯·赫克斯特布尔说：“哈迪德改变了人们对空间的看法和感受”，空间在哈迪德手中就像橡胶泥一样，任意改变形状。
建筑的发展总是与变化着的宇宙中的数学原理同步发展的。建筑与数学的相互渗透，为数字建筑的发展注入创新元素。目前，电脑的智能性、高速运算能力、高精确度、存储能力、自动检测能力，为未来建筑提供了广阔的发展空间。
建筑是将空间的一个特定部分转变成一个可度量的整体。建筑的最终目的是使构造空间和自然空间之间的关系一目了然。建筑与数学的关系基于相似而不是直接的同一。基于现代数学思想的建筑，将使曾经对立的自然主义和现实主义的建筑风格达到高层次的统一。
未来的建筑应该是自然主义与现实主义由对立到统一的过程。随着数字建筑的出现，毕达哥拉斯的“万物皆数”思想让我们领会到，建筑设计无非就是一个新的数学实验的过程。造就我们这个时代的大建筑师，需要大文化哲学背景的支撑。伟大的数学家将产生伟大的思想，伟大的思想将造就伟大的建筑师。数学思想，为建筑插上翅膀，未来建筑带领我们乘坐地球在宇宙中更加惬意地飞翔。
人类到底需要什么样的建筑？什么样的建筑能够与地球和人类同生？未来建筑将给出答案。