一、话说有位禅师……
2012年流行过一种禅师体。记得有位青年问禅师：“大师，我很爱我的女朋友，她也有很多优点，但是总有几个缺点让我非常讨厌，有什么什么方法能让她改变？” 禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你需先下山为我找一张只有正面没有背面的纸回来。” 意思是说，世上哪有只有正面，没有反面的东西。
青年略一沉吟，掏出一个莫比乌斯环。
禅师拿着青年的莫比乌斯环说：“正面亦是反面，反面亦是正面。优点和缺点，只是看待的角度方式不同罢了。施主既然知晓这莫比乌斯环的深意，又何必在意她的小缺点呢。”
青年拜服，转身离去。禅师继续诵经，经书上赫然写着三个大字：拓扑学。
青年走出禅院，一回望，发现禅院上赫然写着三个大字“龙泉寺”。
图1
这个有趣的段子当然只是戏言！我想谁也不会闲着没事向禅师找茬。
不！我错了。回首历史，竟然还真有人拿着莫比乌斯环去坑“老禅师”的，甚至还在其自传《你干吗在乎别人怎么想》里得意的描述整个事件。他就是诺贝尔物理奖得主理查德·费曼(1918-1988)，被认为是爱因斯坦之后最睿智的理论物理学家，24岁时就参与秘密研制原子弹项目的“曼哈顿计划”，也是第一位提出纳米概念的人。
图2
原来，那时这个年轻的天才正在追求一位美女阿琳·格林鲍姆。某次，阿琳正在为一个哲学课作业“笛卡尔的‘我思故我在’”发愁，并提到，“我们老师说，任何事物都像纸张一样有两面。”这个可是难得的破绽，于是，费曼为女朋友准备了一条莫比乌斯环纸带。于是，在第二天课上，她故意等到老师举着一张纸，说，“任何事物都像纸一样，有两面……”。
阿琳举起莫比乌斯环说：“老师，您所说的都有两面。可是，我这儿有张只有一面的纸！”话音刚落，那位哲学教授和全班同学都惊奇不已，阿琳自然很得意。从此，……。（懂点拓扑学不仅可以获物理学诺奖，还可以获得美人芳心！）
图3：费曼与阿琳·格林鲍姆
这里不断提到的，只有一面，没有反面的莫比乌斯环到底是什么怪东西呢？
二、从哥尼斯堡七桥问题谈起
18世纪时在历史名城哥尼斯堡（Königsberg，今俄罗斯加里宁格勒州首府加里宁格勒，也是康德一生没有离开的故土）的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河(Pregel)中两个岛及岛与河岸连接起来。当地的市民从事一项非常有趣的消遣活动——在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？这就是著名的“哥尼斯堡七桥问题”。事实上，真要走遍这七座桥的所有走法共有A(7,7) = 7! = 5040种，一一尝试显然不实际。
图4：哥尼斯堡七桥
1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)，请他帮忙解决这一问题。欧拉可是数学史上最多产的数学家，数学史上最伟大的四大数学家之一。在许多数学的分支中经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，以至于法国数学家拉普拉斯说：读读欧拉，他是所有人的老师。
图5：欧拉
当这样一位大数学家亲自访问Konigsberg后，开始研究此问题，情况就不一样了。有时候，我们不得不承认数学史几乎就是一些天才数学家的历史。因为，仅用了近一年时间，1736年29岁的欧拉（要知道28岁时欧拉已经开始瞎了一只眼睛，到59岁时双目失明）提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，他把问题归结为如图的“一笔画”问题,并得出了一个结论：
1.凡是由偶点（与偶数条边相连的点）组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
2.凡是只有两个奇点（与奇数条边相连的点）的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
3.其他情况的图都不能一笔画出。（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。
图6：2014韩国数学家大会特制七桥问题邮票以示纪念
而哥尼斯堡七桥中有C、B、D三个奇点，因此，上述一笔画走法是不可能的。当欧拉发表这一结果时，人们无不惊叹于这位数学家天才的思考方式和解决能力。如今，七座桥只剩下三座桥了，但欧拉绝妙的解答将永载史册。
欧拉研究的这个问题无意中开创了数学上的新分支――图论和几何拓扑学的先声。即，它只考虑图形各部分的相对位置关系而不考虑它们的形状、面积和大小。
举一个很简单的例子：圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑世界里，它们都是等价图形。而圆周和线段在拓扑意义下就不一样，因为把圆周变成线段总会断裂。
你可以拿着一个杯子说，请品尝一下这个美妙的甜甜圈。当然，在这样的世界里，你自己都不知道下一刻是何物了！因此，拓扑学经常被描述成 “橡皮泥的几何”，是不是很形象？不管你怎么拉伸橡皮泥，长度、面积、体积都会发生变化，但点还是点，线还是线，相交图形还是相交图形。拓扑学就是研究物体在连续变形下不变的性质。其实，我们民间的连环益智游戏就是一种拓扑游戏。
图7：杯子和甜甜圈的拓扑形变过程
图8：诺奖委员会手里拿着的可是甜甜圈
怎么会想到研究这些性质？首先要提的是大数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)，历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德，微积分的创立者之一。
据说莱布尼茨曾赠送过康熙（中国史上唯一精通数学的真正学帝，你一定无法想像，数学方程式中的“根”、“元”、“次”都是由康熙帝命名的）一个计算器模型。并写信，建议康熙皇帝在北京建立科学院。
莱布尼茨不满意笛卡尔的坐标系方法，认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的，从而不能直接在坐标系中予以体现。
图9：莱布尼茨
比如几何体的顶点、边、面的个数关系。假设一个多面体的点、边和面的个数分别设为V、E和F，于是就有F – E + V = 2。比如对于立方体，有6个面，12条边，8个顶点，于是有6 - 12 + 8 = 2。而对于四面体，有4个面，6条边，4个顶点，也得到4 - 6 + 4 = 2。该公式最早由法国数学家笛卡儿于1635年左右证明，但不为人知。后来还是前面提到的瑞士数学家欧拉于1750年也独立证明了这个公式，公式中的结果值2称为欧拉示性数。因此，这个漂亮的公式常被称为欧拉公式（其实，欧拉公式有很多，欧拉也是数学史上最多产的数学家），有关它的证明我们另谈。
图10：欧拉公式邮票
另一个经典的拓扑问题，就是四色问题。与费马问题和哥德巴赫猜想并称为世界三大数学猜想。通俗的说就是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
图11：四色问题
四色问题最先是由一位叫弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)的英国大学生提出来的。伦敦大学学院的数学教授德·摩尔根(Augustus De Morgan,1806-1871)，1852年10月23日致哈密尔顿（又是一个神童！四元数的发明者）的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
图12：奥古斯都·德·摩根(Augustus de Morgen)
图13：哈密尔顿
1872年，英国当时最著名的数学家凯利(Arthur Cayley,1821-1895)正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
图14：凯利
1976年美国数学家阿佩尔(K.Appel)与哈肯(W.Haken)宣告借助电子计算机，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。问题也终于成为定理，这是第一个借助计算机证明的定理。据说，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。当然，不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法来证明四色问题。
图15：加盖“四色足够”的邮戳
三、莫比乌斯环的发现
前面，我们已经了解了多面体的欧拉公式和四色定理。问题是怎样判定这是一个面或一条边？比如说：一张四边形纸条有几条边，几个面？容易知道，有4条边，2个面。那么，能否将它变成2条边，2个面呢？这个也容易做到，只要将它卷成一个圆柱形，即可。怎么判断是两个面？只要用一种颜色的绘笔，在纸圈上的一面涂抹，涂完一个面后，提笔才能重新涂另一个面。边也一样。
图16：四边形纸条卷成圆柱形
那么再问：能否将它变成1条边，1个面呢？也就是说，能否用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成这种颜色而不留下任何空白？
关于这个问题，很多数学家都有过思考。德国数学家、天文学家莫比乌斯(Moebius,1790-1868)在研究“四色定理”时，也对此发生了浓厚兴趣。他长时间专心思索、试验，毫无结果。
图17
1858年的一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。野外那新鲜的空气和清凉的风，使他顿感轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿，就连一片片肥大的玉米叶子，在他眼里都变成了“绿色的纸条儿”。这就是作为一名数学家的特性。他不由自主地蹲下来，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿。突然，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了特殊的纸圈儿。接着，莫比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。莫比乌斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。”就这样有意无意间，莫比乌斯发现了三维欧几里德空间中的一种奇特的二维单面环状结构——后人称之为莫比乌斯环(Mobius strip)。同时独立发现这个怪圈的还有数学家约翰·李斯丁。
莫比乌斯于1809 年入莱比锡大学学习法律，后转攻数学、物理和天文，尤其涉及天文和数学两大领域。担任过“数学王子”高斯(Gauss,1777-1855)的助教，后在高斯的推荐下成为特级教授和莱比锡天文台的观测员，并于1848年成为莱比锡天文台台长。莫比乌斯在数学上有很多贡献，不过他为世人所知还多半是因为这个用他的名字命名的奇怪曲面：莫比乌斯环。莫比乌斯也因此成了拓扑学研究的先驱者。
四、奇特的莫比乌斯环
如莫比乌斯所做的，只要将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端CD扭转180度后，把AB和DC粘合在一起就可得到一条莫比乌斯环。
图18
图19：莫比乌斯环的制作
这个莫比乌斯环的重要特性是：虽然在每个局部都可以说正面反面，但整体上不能分隔成正面和反面，即这种曲面是只有一个面的 “单侧曲面”。
图20：公正的蚂蚁无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面
若是在这样的二维世界里行走，你不用绕过边界就可以走遍整个世界。若是用一支笔沿着边界涂色，不用提笔就可以涂遍整个边界，就是说它也是一个只有一条边界的曲面。
图21
这个怪圈因为具有一些奇异的性质而成为数学珍品之一。
下面，就让我们来探寻它的神秘之处。
1. 若是在莫比乌斯环的中间画上一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到什么呢？
实验结果：如果沿着莫比乌斯环中间剪开，和一般的纸带（会分成断开的两条环）不一样，而会形成一个比原来的莫比乌斯环周长大一倍、把纸带的端头扭转了四次再粘合一起的环。
图22
2. 若是在莫比乌斯环的三等分处画一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到什么呢？
实验结果：如果沿着莫比乌斯环三等分处剪开，剪刀绕两个圈竟又回到原出发点，这时会形成两条带子，其中一条和原来的周长一样长，另一条则比原来的莫比乌斯环周长大一倍，而且两条是套在一起的。
图23
3. 若是在莫比乌斯环的四等分处画一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到什么呢？
实验结果：如果沿着莫比乌斯环四等分处剪开，这时会形成两条比原来的莫比乌斯环周长都大一倍带子，而且两条是套在一起的。
4. 若是在莫比乌斯环的五等分处画一条线，然后用剪刀沿着这条线剪开这个莫比乌斯环，将会得到什么呢呢？
实验结果：如果沿着莫比乌斯环五等分处剪开，这时会形成三条带子，两条比原来的莫比乌斯环周长都大一倍带子，另一条则和原来的周长一样长，而且三条是套在一起的。
由此规律，你能得出什么结论呢？
下面继续见证奇迹。
5. 若是在1的结果基础上，对剪出来的环再沿着中间用剪刀剪开，又将得到什么结果呢？
6. 将两张叠在一起的长方形纸带制成一条莫比乌斯环。
(1) 将两张叠在一起的长方形纸带同时扭转半圈，把相应的端头粘合在一起；
(2) 把食指放在两层带之间移动；
(3) 把双层带拉开成单层带，比较双、单层带的长度与扭转半圈数；
(4) 将单层带恢复为双层带，同时沿它的中间线剪开。
通过以上这些步骤，分别又会发现什么呢？
好吧！你们可以自己玩玩！
相信一定能感受到这个“怪圈”神奇了。
五、生活、艺术中的莫比乌斯环
莫比乌斯环乍看起来似乎不过是数学中意外发现的一个新奇的玩具而已。其实，这个“怪圈”远非数学中的一个拓扑游戏。莫比乌斯1858年发现了它，可有关论文在巴黎研究院的卷宗里埋藏了7年之久．1865年发表出来后以奇妙的单侧单面性吸引无数学者步入拓扑的殿堂，从而促进了拓扑学的形成和发展。它更因其所具有的特性和内在的意义，被大量的运用于生活和艺术设计中。
1. 莫比乌斯环传动带
普通传动带有两个面，只用到一面，而以莫比乌斯环做传动带，因它只有一面, 损耗就较平均，从而可延长使用寿命，提高了利用效率。
图24：莫比乌斯环做传动带
1979年，美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成莫比乌斯圈形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。
另外，针式打印机中的色带，为充分利用其表面，常被设计成莫比乌斯环。再如，音乐磁带中莫比乌斯圈的运用，可以加大磁带的信息承载量。
2. 莫比乌斯圈过山车
在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车——它的轨道被设计成一个莫比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。相信，定然很刺激。
图25：莫比乌斯圈过山车
3. 各种莫比乌斯环标志
莫比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。
微处理器厂商Power Architecture的商标就是一条莫比乌斯圈，Power Architecture技术是一个主流平台，被广泛应用于包括汽车控制、远程通讯、无线和有线基础架构、企业网络、服务器和数字家庭。
图26
国际通用的循环再造标志就是一个绿色的、摆放成三角形的莫比乌斯带，如垃圾回收标志。
图27
4. 埃舍尔的《莫比乌斯带》系列作品
在所有莫比乌斯环的艺术作品中，荷兰的图形艺术家M.C.埃舍尔(M. C. Escher,1898-1972)的《莫比乌斯带》系列最能表现莫比乌斯环的生动形象，同时也是最具震撼力的作品了。
作为荷兰科学思维版画大师的M.C.埃舍尔是20世纪画坛中独树一帜的艺术家。让埃舍尔备受拓扑学家关注的原因则是他对于莫比乌斯环的艺术上的理解。当然，埃舍尔并不是一开始就想到莫比乌斯环的。他曾表示：“1960年，一位英国数学家（我已经记不起他的名字了）劝我作一幅莫比乌斯环的版画。而那时我对这个东西还几乎一无所知。”然而，莫比乌斯环似乎一直在等待真正赏识它的人出现，一旦埃舍尔发现了它，它立即就成了埃舍尔的主题。他曾多次绘制这个有趣的莫比乌斯环：
图28：《莫比乌斯I》(Mobius I, 1963)
图29：《骑士》（Horseman，木刻，1946）
图30：《缠着魔带的立方体》(Cube with Magic Ribbons,1957)
图31：《莫比乌斯带》
“埃舍尔不仅画各种莫比乌斯环，却并不拘泥于典型的莫比乌斯环。他将其与自己擅长的镶嵌画融合，探索各种可能，达到了形形色色的奇妙效果。”
如，《莫比乌斯II》(Mobius II, 1963)中生动形象地展示了莫比乌斯环的拓扑学性质。一只红蚂蚁无限地爬下去，不断地在里侧外侧徘徊，形象地展示了莫比乌斯环的一个面的特性。如此便将理解晦涩的理论所需的空间想象能力降低，使之更易被人所理解。
图32：《莫比乌斯II》
5. 莫比乌斯环触发的各种设计创意
上海世博会的湖南馆“桃花源里·湘都(xiangdu)”，主体建筑外观采用了双莫比乌斯环扣造型，外表用纸装饰，远观如一尊巨大的动态雕塑艺术品。整个“魔比思环”就像展开的卷轴，环体上的影像组成循环流动的彩带，时而全景演播，时而滚动变化，时而回归为纯净的留白，给人以更多静思与遐想的空间。
图33
图34：上海世博会的湖南馆
还有坐落在哈萨克斯坦共和国首都阿斯塔纳的哈萨克斯坦国家图书馆集现代特色和传统经典于一身，整个建筑呈向内“循环”的螺旋流线造型，简约而雅致。BIG建筑师事务所资金合伙人BjarkeIngels解释道：“国家图书馆的设计是将穿越空间与时间的四个世界性经典造型——圆形、环形、拱形和圆顶形——以莫比乌斯环的形式融合在了一起。它拥有环形的清晰明了，拥有圆形大厅的庭院设计、拥有拱形的走廊通道，以及蒙古圆顶帐篷般的柔和轮廓，四种建筑原型的结合创造了一个新的兼具地方性和国际性特色，既现代又永恒经典，既独特又具有建筑归属感的全新国家标志性建筑。”
图35：哈萨克斯坦国家图书馆
这种建筑设计，可以在同样平面面积中通过不同角度的“空间扭曲”而让原有的空间在不同方向得以“延伸”，从而获得更多的可用空间。“它让墙壁在不同的角度变化，时而是墙，时而是屋顶，时而成了地板，最后又变成了墙。” 国家图书馆项目负责人托马斯～克里斯托弗森如是说。
又如，这是中国科技馆的展品之一，叫“三叶扭结”。它是由“莫比乌斯环”演变而成的，是由一条三棱柱带经过三次盘绕，将其中的一端旋转120ﾟ后首尾相接，构成三面连通的单侧单边的三叶扭结造型。三叶扭结虽是立体图形，但只有一个面，即单侧面。这蓝白相间的灯不停地闪烁，乍看是个漂亮的灯饰，但细瞧，它也只有一面和一边，正喻示着科学没有国界，各种科学之间没有边界，科学是相互连通的，科学和艺术也是相互连通的！
图36：科技馆的“三叶扭结”
一年一度的英国古德伍德速度节上，为莲花汽车公司设计的雕塑，以类似莫比乌斯环的无限延伸空间向人们展示了汽车竞速的无限乐趣，无论是形体还是构思都让人无比震撼。
图37：震撼眼球的莲花汽车雕塑
另外，可知道“鸟巢”的女朋友“凤巢”吗？就是凤凰卫视北京总部。
图38：凤凰卫视北京总部
建筑造型取意于“莫比乌斯带”，并借助莫比乌斯带的图解，将高层办公区和媒体演播室融合起来，在满足全方位提供节目制作场地及其他配套服务设施的同时，形成了一个完整的空间和体量。
这里，我们可以听听数学家是怎么解释莫比乌斯环纽结和过山车的？
视频1
6. 邮票上的莫比乌斯环
瑞典1982年发行了“不可能的图形”系列邮票，其中有一枚邮票，这是一个立体化的“莫比乌斯圈”。只是，这种莫比乌斯环在现实中是不可能存在的，意在引导人们关注科学，探索宇宙不解之谜。
图39：“不可能的图形”邮票
7. 史上最浪漫的结婚戒指
这枚莫比乌斯环婚戒标写着：“我会一直在你身边！”真是寓意深远！
图40：莫比乌斯环婚戒
8. 影视、文学作品中的莫比乌斯环
以《爱丽丝漫游奇境》享誉文坛的路易斯•卡洛尔，恐怕是世界上最有数学情怀的童话作家。在他的故事中，少不了妙趣横生的数学谜题。其中“手绢中的宇宙”就是如此一个奥妙无穷的莫比乌斯环：怎样用两张方手绢，缝成一个没有里面与外面之分的“口袋”？——这个口袋由于两面相通，所以能够“装下全宇宙”。
由A.J.Deutsch创作的短篇小说《一个叫莫比乌斯的地铁站》为波士顿地铁站创造了一个新的行驶线路，整个线路按照莫比乌斯方式扭曲，走入这个线路的火车都消失不见。
《哆啦A梦》（赶走讨厌的客人）一集中，哆啦A梦有个道具的外观就是莫比乌斯带，在故事中，只要将这个环套在门把上，则外面的人进来之后，看到的仍然是外面。
图41：哆啦A梦的莫比乌斯带
还有，2015年上映的一部电影《前目的地》，整部电影的情节简直就是一个莫比乌斯环。整个故事你不知道哪里是起点，也不知道是从哪里结束。
图42：一个死循环的故事环
很烧脑的科幻电影，自己去琢磨吧！
9. 密码——青铜
西班牙现代雕塑大师苏比拉克作品的“密码”这件作品由三部分组成：作品上部分的数字方格是“苏比拉克幻方”，方框内的16个数字横、竖、斜或分组相加均为33。33是耶稣死亡的年龄，也是耶稣复活的年龄！作品中间部分的“环带”就是“莫比乌斯带”，象征无限远的意义。同时，又有魔幻和神秘之意义。作品下部分的织物皱褶则象征古希腊文明的艺术特点。
图43：密码
整个作品将组合数学与拓扑学等科学主题与雕塑艺术融合在一起，算是用艺术表现科学的杰出典范。
10. 真是美妙的GEB：当巴赫遇上莫比乌斯环
当巴赫音乐遇上莫比乌斯环又会怎样呢？自己欣赏吧！
旋律的可逆精彩对称，旋律的重组、对位的自由不失逻辑，最后，有限的旋律竟然可以呈现在“怪圈”——麦比乌斯环上，无休止的的进行下去，令人无限遐想！
视频2
最后，我们以这样一个故事结束吧！
一位农夫请了工程师、物理学家、逻辑学家和拓扑学家来解决一个问题，想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有无限长，认为围起半个地球总够大了。逻辑学家用很少的篱笆把自己围起来，自豪地说：“我现在是在外面。”最后，拓扑学家来了，用篱笆围出一个莫比乌斯环，说：“我的这边就是。”于是，他围住了整个平面。
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