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数学的武器——万物计算的理论

摘要:本文介绍了Wolfram Alpha这一强大的数学工具。
从前有一棵树叫高数,树上挂了很多人,这些人死后被埋在微积坟,坟的后面是一片广阔的麦克劳林。
数学,或称高数,或称微积分,或称数分,是所有大学曾挥之不去的梦魇。那种即使看答案也摸不着头脑的恐惧,久久萦绕在我们脑中。因此,若想征服数学,就需要一件最好的武器。

Stephen Wolfram(斯蒂芬.沃尔夫勒姆),Mathematica的创始人,谈论了他试图通过搜索、处理及操作各种信息从而计算所有知识的构想。他的新一代搜索引擎,Wolfram Alpha,致力于对宇宙根本的物理问题进行建模和解释。

图1
按照Stephen Wolfram博士的说法,Wolfram Alpha这个网站其实是一个计算知识引擎,而不是搜索引擎。其真正的创新之处,在于能够马上理解问题,并给出答案。在被问到“珠穆朗玛峰有多高”之类的问题时,Wolfram Alpha不仅能告诉你海拔高度,还能告诉你这座世界第一高峰的地理位置、附近有什么城镇,以及一系列图表。

图2
作为数学工具,Wolfram Alpha是一台免费的网上图形计算器。在搜索栏内直接输入文字题目、算式、甚至图像,它都能帮你查出来、算出来甚至画出来。
一、Wolfram Alpha-计算知识引擎
例如,做历史题的时候,你可以问它“权利法案是谁写的?”
例如,在三维坐标系里画图,直接输z=x2+y2(它会把三维函数图像、等值线图、实虚根、定义域和值域、奇偶性以及导数函数等等你能想到的所有信息都给你);当然什么矢量啦、积分啦、矩阵啦、线性回归啦都完全OK。

图3:在Wolfram Alpha输入z=x2+y2得到的图像
例如用Wolfram Alpha画出分形Julia set。
绘制以z为变量的有理函数f的朱利亚集合的图像:
JuliaSetPlot[f,z]
绘制函数 f(z)=z2+c 的朱利亚集合的图像:
JuliaSetPlot[c]
生成z2-1的朱利亚集合的填充图像:
In[3]:=JuliaSetPlot[-1]
Out[3]=

图4
生成朱利亚集合的图像:
In[1]:=JuliaSetPlot[-1, PlotStyle -> White]
Out[1]=

图5
显示迭代次数图例:
In[1]:=JuliaSetPlot[0.365 - 0.37 I, PlotLegends -> Automatic]
Out[1]=

图6
例如,它可以通过用户输入的函数给出该函数的各种计算结果(极限、导数、积分、函数的零点、极值、级数展开等),并给出函数的图形。有些问题还给出计算步骤(如求导数、求积分的步骤)。Wolfram Alpha给从事数学教学的教师和学习数学的学生都有很大的帮助。
二、Wolfram Alpha与可视化数学
1. 向日葵叶子排列的秘密
黄金分割!黄金分割!到底向日葵叶子是怎么排列的呢?

图7
2. 多边形与圆周率

图8
3. 立体图形三视图

图9
三、用Wolfram Alpha做微积分 
例如:求函数f(x)=x2+sinx+1的原函数
输入:integrate  x^2+sin(x)+1
得到函数的等值线图与三维图形:

图10
输入“taylor series sinx”就可以得到sinx的泰勒级数:

图11
四、计算定义我们未来的想法?

图12(点击观看视频:所有知识的计算理论(Computing a theory of all knowledge)
Stephen Wolfram开发Mathematica也就像伽利略在400年前想要用望远镜一样。但他想了解的不是天文宇宙,而是可计算空间。
通常我们觉得程序是复杂的东西。我们编程有很多特定的目的。然而所有程序的空间又有多少呢?下面看一个简单的程序,所以呢,如果我们运行这个程序,这就是我们得到的结果,很简单。

图13

图14
接下来,我们稍微修改一下这个程序的规则,我们便得到了另一个结果。

图15
仍旧非常简单,再试着改一下。你就看到稍微复杂一点的东西。

图16
不过如果我们把这个程序继续运行下去,我们将发现,尽管我们获得的图案十分复杂。但它具有规律的结构。

图17
接下来的问题是:还能发生什么?好,我们可以来做个小的数学实验,试着找出规律。
运行我们所关注的特定总类的所有可能的程序,他们被称为单元自动机。你能看到这里有各种各样的图案模式,大多数都很简单。

图18
但是,如果你注意所有不同的图片,在30号规则上,你开始看见一些有趣的东西出现。所以我们仔细看一下。在30号规则这里,我们只是按照底部非常简单的规律,然而我们得到了惊人的结果,这与我们过去习惯的事物完全不同。而且,我必须说,当我第一次看见它的时候,它让我直觉为之震惊。实际上,为了理解它我们最终不得不建立一套全新的科学。

图19
这些最终导向一个终极问题-有没有可能使这个计算空间与我们的物理世界相融合?也许存在简单的规则。一些简单的程序,对于我们的物理世界来说。物理的历史让我们相信,宇宙的内部规则一定是很复杂的。但是在计算空间中,我们已经看到那些规则惊人的简单。却能够产生非常丰富和复杂的结果。所以,这可能是我们的物理世界的本质吗?如果这个宇宙的规则很简单,不可避免的,他们一定是十分抽象以及初级远远运行于时间、空间之下。这种运行方法很难表现某种东西,但是至少,从其中一类大量的事例中我们能把这个宇宙想成某种网络。当它变得足够大时,它表现得像一个连续空间。某种程度上就像很多分子。表现得像流体一样。之后,宇宙进化就要依靠和应用这个网络中不断更新的简单规则。并且,每一个可能的规则,在某种程度上说,对应一个候选空间。

图20
Stephen Wolfram已经在计算的这个想法上做了超过30年了研究。打造工具,创立方法,将专业知识编写成数百万行的代码,在服务器中收获结果等等。从科学的根基到技术的极限 再到人类条件的定义,Stephen Wolfram觉得,计算注定是定义我们的未来的想法。

 

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