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我眼中的数学之美(更正版)

当我们发现数学不需要文字的时候是真的美,然而绝大部分数学的结果都是由严谨的逻辑推理书写而成的,我想应该就是这些阻碍了很多人学数学。领悟数学美的过程我觉得就是这一句所描述的:学乎浅者始觉形美,学乎深者方觉意真。
最开始让我惊讶的是这个证明:
下图是由小三角形组成的正六边形棋盘,请用右边三种菱形填满整个棋盘,证明当摆满整个棋盘后,你所使用的每种菱形数量相等。

图1
在美国数学月刊文末提供了一个让人赞叹不已的“证明”:

图2
他把每种菱形都涂成一种颜色,然后整个平面图形看起来就像立体一样,答案就显而易见了。我想大家对这个都很熟悉了,由于这个太经典导致stackexchange的用户头像就是它。
在平面几何中的托密勒定理也有如此漂亮的证明。 托密勒定理是这样的:圆内接四边形的对边乘积之和等于对角线的乘积。

图3
托密勒定理也就是要证明ac+bd=ef。喜欢几何证明的同学看起来是要大干一场了,然后且看下图:

图4
这张图就能证明该定理。我觉得你们能看出来,所以我们继续往前看看还有哪些更美的东西。
对于斐波那契数列大家都很熟了,假设Fn表示数列的第n项,下面这个公式大家可能有种熟悉的陌生感:,F0=1。也就是说斐波那契数列前n项的平方和等于第n项与第n+1项的乘积。下图就说明一切:

图5
每个正方形的数字表示的是边长前n项的平方和就是这n个正方形面积之和,而这n个正方形正好构成了整个矩形,矩形的边长分别就是就是第n项与第n+1项,所以等式成立。
在实分析中,线段上的点和直线上的点是“一样多”(即等势)用一张图也能说明:

图6
这张图的巧妙之处就是通过一个圆的过渡将线段与直线之间的点一一对应了起来。
还有大家熟悉的立方和公式:,一般是采用数学归纳法来证明,其实这里同样有一个图形证明。
我先拿15格的正方形网格为例,正方形网格里有5个涂色的小正方形,小正方形的长度分别对应到边上的颜色,可以看到整个正方形的面积就是右边和下边颜色条的乘积,颜色条的长度就是1+2+3+4+5,小正方形的面积分别为

图7
下面我们将空白网格都涂上对应的颜色:

图8
可以看到整个正方形的面积为,于是就有了
所以立方和公式也就被“证明”了。
图形的力量不可低估,它连很多不等式都能证明,比如:


我们先来看看n=3的情形:,不妨设且看下图

图9
分别表示表示的是以x、y、z为边的棱锥体积,明显是大于长方体的体积即xyz。
以上都是无字证明给人的美感,应该是属于数学的外在美。
下面将是数学的内在美了,内在美是数学美永恒的主题!她之所以能吸引很多数学工作者毕其生而为其事,是在于她能将许许多多不同的分支相互联系相互影响。我将举三个简单的例子加以说明。
首先我先从群论中众所周知的事说起。在环(由元素构成,a、b为整数)中,因子分解的唯一性不成立。比如,如果我们引进理想元素。

它们的乘积由下式给出:

那么就可以恢复因式分解的唯一性。
其次我们取一个非常有名的几何对象——mobius带,通常对它的描述就是把一个长方形的对边扭一下再粘在一起,如果不扭则得到的是圆柱面,人们对mobius带的兴趣就是由于它与柱面完全不一样。
最后从分析中选出一个方程:

是一个微分方程,它依赖核a(x,y)。待会我们将看到这三个分别来自群论、几何和分析的三个例子是如何自然的联系到一起的。
要将群论中的环和mobius带联系在一起,很自然地想到介于这两者的对象——圆:


我们考虑以x为变量的实多项式环R[x],它与整数环Z有些相像,比如唯一分解定理都成立。我们可以把看成与类似。把(1)当作等价关系,在环R[x,y]中,有


正如上例所示此时因子分解的唯一性不成立。我们再仿照上例,引进理想元素:


乘积由下式表出:
相比,环,的妙处在于有几何参照——圆。

图10
理想元素p、q可以表示为图中的p、q两点。实际上p是满足两个方程x=0,1-y=0的唯一点,q是满足x=0,1+y=0的唯一点。关系(2.2)从几何上解释就是x=0与圆相交于p、q两点。1-y=0是p点的切线,1+y=0是q点的切线,所以在中因子分解的唯一性不成立就和下面的事实相关:圆上的一个单点不能只有一个额外的f(x,y)=0决定。
如果令则任何多项式都变成连续函数,它是周期函数。f的图形通常可以这样画(见下图),或者来点变化,把“粘在一起”,f的图象则展现在圆柱面上(见下图),于是可以直观的看出,f的图象必通过f=0偶数次。

图11

图12(画图不要太介意哈。。。)
因此一个点不能用单独一个方程表示出来本质上是一个拓扑性质。假如,我们考虑的不是周期函数而是反周期函数,也就是f满足,那么函数图像便可以自然地画在mobius带上了(见下图),并且这种f在上可以有单一零点,例如,(如下图)

图13
综上mobius带的存在与的因子分解的不唯一性紧密关联!而且它的形式又与十分相似!
现在我们把mobius带(通过反周期函数)和前面的微分方程联系起来。首先我们定义算子:

假设a(x,y)是反对称连续实函数(即a(x,y)=-a(y,x)),我们进一步假设:
(i)a(x,y)对每个变元是周期函数
(ii)a(x,y)对每个变元是反周期函数
情形(i)A作用在周期函数上,(ii)则作用在反周期函数上,然而在这两种情况下它都是饭对称算子即

且在一般情况下,Af=0的解空间的维数在周期函数情形是奇数,在反周期函数情形是偶数。这表明了mobius带和圆柱面的拓扑差别反映在算子A的奇偶性上!
多么美妙的结论!是数学将这不同分支的三者联系了起来。


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