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视频 | 复数及复变函数的动画解析

复数(Complex)作为实数的拓展历史悠久,一度曾被叫做子虚乌有的数(imaginary),直到十八世纪初经过棣莫弗及欧拉大力推动,才被数学家们渐渐接受。
确实理解复数确实需要一点时间,不过它并不复杂,而且利用它还能画出非常美丽的变换和分形图形。请看下面【遇见数学】翻译小组带来的《复数及复变函数动画解析》:


视频1:(视频来源:youtube.com/watch?v=bIY6ahHVgqA;【遇见数学】翻译小组)

 

【遇见数学】把下面关于复数的旧文一篇中的动画已经整理成可操纵动画的PPT文档格式。获取方式:请加【遇见数学】小编(下面扫码)索要。既不需要积赞,也无需转发到朋友圈。


一、复数,作为实数理论的延伸
先来看看在实数轴上两个数的加减乘除这 4 种运算。观察到红蓝两个点(数),在不同的计算下,其结果(绿点)的变化,不管数怎样变化,都总还落在数轴上(除法分母为 0 时候,当然没有意义)。


图1
再来看下图中,任何实数乘以 -1 的结果都会落在关于原点对称相应的位置上。所以乘以 -1 的计算可以理解为该点(数)绕着原点旋转了半圈。


图2
数学家进一步思考,既然乘以 -1 是转动 180°,那么只转动了 90°(比如整数 1)落在哪里?有什么意义呢?
二、进入新的二维复数平面
这是19世纪数学史上非常重要的一步,现在已经逃离了一维实数轴的束缚,而是进入了新的陌生的二维复平面。
考虑到转动两个 90°会刚好到 -1。所以认为 -1 的平方根是相应于 1 的一个 90度的旋转(也就是 1 * I * I = -1),这样在平面上与实数轴垂直的单位线段,称为是 1 个虚数单位i。于是有着性质:


这个没在实数轴上奇怪的点实际上落在复数平面(complex plane,或称为阿尔冈平面)上了,所有在复平面上的数都满足z = a + bi 这样的结构,称之为复数。其中a 称为实部(real part),b 为虚部(imaginary part)。如下图 1 + 2i 复数,1 和 2 是实数,i 是虚数单位,这样的复平面几何表示如下图所示:


图3
现在来看直角坐标平面是二维的,需要两个数(x,y)来描述任意一点的位置,但现在用一个复数就够了,可以用实数组(a,b)代表这个复数,并且可以在复平面上绘制出来。不过请记住这里应该将每个这样的点看做一个复数,而不是一对实数。
还有三个新概念需要知晓:
复数的模(modulus,通常写为|z|)
辐角(argument,通常写为arg(z))
复数的共轭(conjugate,通常写为下面形式)
复数的模就是它长度 r:从原点到 z 点之间的距离;辐角φ就是与正实轴的夹角;共轭就是a - bi 的形式。观察下图可以更好理解:


图4
三、复数的运算操作
复数有那些运算,比如可以两个复数相加,也就是两个复数实部和虚部分别对应相加,可以看成是平移的操作。


图5
复数也可以有数乘运算,就是对模的放大或缩小了:


图6
复数的乘法,就如上面所述,数乘以 i 相当于这个转动 90°:


图7
z1 * z2 两个复数相乘其实就是旋转 + 伸缩两种变换,也就是两个复数的模相乘(伸缩大小),辐角相加(旋转量)。


图8
如果对图片中的每一点做复数运算的变换,可以得到各种有趣的平面变换图像。这里为了纪念欧拉大神,就以他老人家头像为例,比如做乘以2i 的函数变换 - 旋转 90°,同时放大了2 倍的变换;另一个变换函数为三次方,你也可以思考为什么会变成这个形状呢?


图9
四、最美的数学公式——欧拉公式
复平面内的点可以转成极坐标的形式 (r,θ),那么该点所表示的复数是什么呢?可用 x = rcos(θ) 和 y = rsin(θ) 来转化到笛卡尔坐标。所以极坐标 (r,θ) 表示复数 
z = x + iy = rcos(θ) + irsin(θ)。
特别的,如果 r = 1,则 z = cos(θ) + isin(θ)。
形如 re^(iθ) 的复数为极坐标形式,并且与之相对的 x + iy 为笛卡尔形式。1743年,瑞士数学家欧拉给出了著名的欧拉公式,对所有实数 θ 都成立:

特别当 θ=π 时,欧拉公式的特殊形式更是被评为数学上最美的公式:

这个简洁公式包括了 5 个数学上最重要的常数:0,1(自然数的基本单位),e(描述变化率的自然指数),π 以及 i(虚数的基本单位)。
我们可以很快用几何的方法来证明该等式,观察下图不同的 θ 值对应的极坐标 e^θ,请留意动画停顿之处(特别是在复平面旋转角度为 180°,点落到等于 -1 的时刻),相信就会理解上面的欧拉等式:


图10
关于复数,推荐进一步查看这里台大单维彰教授所讲解的《文化脉络中的数学》——【从复数开始的科技文明】部分,相信会有一定会有更多的收获。


参考资料:
[1] https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/
[2] 阿德里安·班纳《普林斯顿微积分读本》(修订版)
[3] 维基百科


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